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Partícula en una superficie cónica (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula de masa m se encuentra obligada a moverse sobre la superficie interior de un cono recto, de eje vertical y cuyo semiángulo en el vértice mide β. La partícula puede deslizar sin rozamiento sobre esta superficie y está sometido a la acción del peso, que va en la dirección vertical. Se desea que la partícula describa uniformemente circunferencias horizontales a una altura h respecto al vértice. Con ayuda de las coordenadas cilíndricas y la base asociada a ellas,

  1. ¿Qué rapidez v0 debe comunicársele a la partícula, en función de la altura h?
  2. ¿Cuánto vale, en módulo, la reacción de la superficie cónica en este movimiento?
  3. ¿Cuánto vale la proporción E/U entre la energía mecánica y la potencial para este movimiento circular? Tómese como origen de energía potencial el vértice del cono.
  4. Exprese, en la base de las coordenadas cilíndricas:
    1. La cantidad de movimiento. ¿Es constante?
    2. El momento cinético respecto a O. ¿Es constante?
    3. La fuerza resultante sobre la partícula
    4. El momento de las fuerzas sobre la partícula.

2 Rapidez

Este problema es, en lo esencial, idéntico al de la Masa girando alrededor de una mano y muy parecido al de curvas y peraltes

La partícula se mueve sometida a la acción de dos fuerzas: el peso

m\vec{g}=-mg\vec{k}

y la reacción de la superficie. Esta se calcula como en el caso de los problemas citados:

\vec{F}_n=F_n\left(-\cos(\beta)\vec{u}_\rho+\mathrm{sen}(\beta)\vec{k}\right)

Puesto que el movimiento es circular uniforme, la resultante de las dos fuerzas produce una aceleración puramente normal

m\vec{g}+\vec{F}_n=m\vec{a}=-m\frac{v_0^2}{\rho}\vec{u}_\rho

siendo el radio de la circunferencia

\frac{\rho}{h}=\mathrm{tg}(\beta)\qquad\Rightarrow\qquad \rho = h\,\mathrm{tg}(\beta)

Esto nos da

-mg\vec{k}+F_n\left(-\cos(\beta)\vec{u}_\rho+\mathrm{sen}(\beta)\vec{k}\right)=-m\frac{v_0^2}{h\,\mathrm{tg}(\beta)}\vec{u}_\rho

Separando por componentes, queda, en la dirección vertical

-mg+F_n\,\mathrm{sen}(\beta)=0\qquad\Rightarrow\qquad F_n=\frac{mg}{\mathrm{sen}(\beta)}

y en la radial

-F_n\cos(\beta)=-m\frac{v_0^2}{h\,\mathrm{tg}(\beta)}\qquad\Rightarrow\qquad v_0^2=\frac{F_nh\,\mathrm{tg}(\beta)\cos(\beta)}{m}=\frac{F_nh\,\mathrm{sen}(\beta)}{m}=gh

y por tanto la rapidez buscada es

v_0=\sqrt{gh}

3 Fuerza de reacción

La fuerza de reacción, en módulo, ya la hemos calculado

F_n=\frac{mg}{\mathrm{sen}(\beta)}

y, en forma vectorial

\vec{F}_n=F_n\left(-\cos(\beta)\vec{u}_\rho+\mathrm{sen}(\beta)\vec{k}\right)=mg\left(-\mathrm{cotg}(\beta)\vec{u}_\rho+\vec{k}\right)

4 Proporción de energía

La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial

E=\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh

Sustituimos el valor de la rapidez calculada antes

E=\frac{1}{2}m(gh)+mgh=\frac{3}{2}mgh

por lo que la proporción buscada es

\frac{E}{U}=\frac{3}{2}

5 Expresión de cantidades

5.1 Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento es igual al producto de la masa por la velocidad, la cual va en la dirección acimutal

\vec{p}=mv_0\vec{u}_\theta=m\sqrt{gh}\vec{u}_\theta

Esta cantidad no es constante, ya que el vector \vec{u}_\theta va cambiando de dirección al moverse la partícula.

5.2 Momento cinético

El momento cinético es el momento de la cantidad de movimiento

\vec{L}_O=\overrightarrow{OP}\times\vec{p}

siendo el vector de posición

\vec{r}=\rho\vec{u}_\rho+h\vec{k}=h\left(\mathrm{tg}(\beta)\vec{u}_\rho+\vec{k}\right)

lo que da

\vec{L}_O=mh\sqrt{gh}\left(-\vec{u}_\rho+\mathrm{tg}(\theta)\vec{k}\right)

Este vector tampoco es constante, pues \vec{u}_\rho depende del tiempo.

Aquí hemos aplicado que el triedro en cilíndricas es ortonormal

Archivo:Triedro-cilíndricas.png

5.3 Fuerza resultante

La fuerza resultante es la suma de la normal y del peso que como hemos visto, dan

\vec{F}=\vec{F}_n+m\vec{g}=mg\left(-\mathrm{cotg}(\beta)\vec{u}_\rho+\vec{k}\right)-mg\vec{k}=-mg\,\mathrm{cotg}(\beta)\vec{u}_\rho

También se puede hallar aplicando la segunda ley de Newton

\vec{F}=-\frac{mv_0^2}{\rho}\vec{u}_\rho=-\frac{mgh}{h\,\mathrm{tg}(\beta)}\vec{u}_\rho=-mg\,\mathrm{cotg}(\beta)\vec{u}_\rho

5.4 Momento de las fuerzas

El momento de las fuerzas se calcula a partir del resultado anterior

\vec{M}_O=\overrightarrow{OP}\times\vec{F}=h\left(\mathrm{tg}(\beta)\vec{u}_\rho+\vec{k}\right)\times\left(-mg\,\mathrm{cotg}(\beta)\vec{u}_\rho\right)=-mgh\mathrm{cotg}(\beta)\vec{u}_\theta

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