Una partícula de masa está engarzada en un semiaro de radio . Un muelle de
constante elástica y longitud natural nula conecta la partícula y el punto
del semiaro. La gravedad actúa como se indica en la figura.
Escribe los vectores de posición y velocidad de la partícula en la base vectorial cartesiana.
Escribe la expresión que da la energía mecánica de la partícula para una posición arbitraria sobre el semiaro.
En el instante inicial, la partícula se encuentra en el punto . Se le da un empujón de modo que su rapidez es . Suponiendo que el contacto entre la partícula y el semiaro es liso, ¿cuanto debe valer para que la partícula llegue hasta el punto ?
Supongamos que el vínculo es rugoso. El trabajo que realiza el semiaro sobre la partícula es , siendo una constante sin dimensiones. ¿Cuál es el valor mínimo de para repetir el apartado anterior?
Solución
Vectores de posición y velocidad
El vector de posición es
El vector velocidad se obtiene derivando respecto del tiempo este vector
Energía mecánica
La energía mecánica es la suma de las energía cinética y potencial de la partícula. La energía cinética es
Hay dos contribuciones a la energía potencial: de la gravedad y del muelle. Para la energía potencial gravitatoria escogemos como origen de energía potencial la altura del eje . Entonces la energía potencial gravitatoria es
Para el muelle, como tiene longitud natural nula, la energía potencial elástica es
Podemos construir el vector a partir de los vectores y . Tenemos
Entonces
Podemos comprobar que este resultado es razonable imponiendo valores para
Ahora podemos escribir la expresión de la energía potencial elástica
Con esto, la energía mecánica es
Movimiento sin rozamiento
Como no hay rozamiento, la energía mecánica se conserva a lo largo del movimiento de la partícula entre
los puntos y . En el punto se tiene y la partícula tiene rapidez inicial . Por tanto la energía mecánica es
La condición mínima para que la partícula llegue a es que su velocidad en este punto sea nula. En tenemos . Por tanto su energía mecánica es
El enunciado nos dice que . Entonces
Debe cumplirse
Es decir, la condición que debe cumplir es
Movimiento con rozamiento
La presencia del rozamiento hace que la energía mecánica no se conserve. Pero como nos dan la magnitud
del trabajo hecho por el rozamiento, podemos usar el balance de energía mecánica. El trabajo de rozamiento
en este caso es negativo. Tenemos
Usando las expresiones del apartado anterior tenemos
Por tanto, la condición es
Este valor mínimo es mayor que el obtenido en el apartado anterior. Esto es lógico, pues en este problema la
fuerza de rozamiento frena a la partícula.