http://laplace.us.es/wiki/index.php?title=Part%C3%ADcula_en_el_campo_gravitatorio_terrestre_(GIA)&feed=atom&action=historyPartícula en el campo gravitatorio terrestre (GIA) - Historial de revisiones2024-03-28T15:16:32ZHistorial de revisiones de esta página en la wikiMediaWiki 1.40.0http://laplace.us.es/wiki/index.php?title=Part%C3%ADcula_en_el_campo_gravitatorio_terrestre_(GIA)&diff=971&oldid=prevPedro: /* Caso 1 */2023-10-10T17:38:59Z<p><span dir="auto"><span class="autocomment">Caso 1</span></span></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
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<tr class="diff-title" lang="es">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Revisión anterior</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Revisión del 18:38 10 oct 2023</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l43">Línea 43:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Línea 43:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>===Caso 1===</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>===Caso 1===</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Imagen:F1_GIA_p04_02_a.png|right]]</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Imagen:F1_GIA_p04_02_a.png|right<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">|250px</ins>]]</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Imagen:F1_GIA_p04_02_b.png|right]]</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Imagen:F1_GIA_p04_02_b.png|right]]</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Sustituyendo las condiciones iniciales tenemos</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Sustituyendo las condiciones iniciales tenemos</div></td></tr>
</table>Pedrohttp://laplace.us.es/wiki/index.php?title=Part%C3%ADcula_en_el_campo_gravitatorio_terrestre_(GIA)&diff=970&oldid=prevPedro: /* Caso 2 */2023-10-10T17:38:44Z<p><span dir="auto"><span class="autocomment">Caso 2</span></span></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
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<tr class="diff-title" lang="es">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Revisión anterior</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Revisión del 18:38 10 oct 2023</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l79">Línea 79:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Línea 79:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>===Caso 2===</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>===Caso 2===</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Imagen:F1_GIA_p04_02_c.png|right]]</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Imagen:F1_GIA_p04_02_c.png|right<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">|250px</ins>]]</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Imagen:F1_GIA_p04_02_d.png|right]]</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Imagen:F1_GIA_p04_02_d.png|right]]</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l103">Línea 103:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Línea 103:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>espaciales, la horizontal crece linealmente y la vertical decrece con el cuadrado del</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>espaciales, la horizontal crece linealmente y la vertical decrece con el cuadrado del</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>tiempo.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>tiempo.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>===Caso 3===</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>===Caso 3===</div></td></tr>
</table>Pedrohttp://laplace.us.es/wiki/index.php?title=Part%C3%ADcula_en_el_campo_gravitatorio_terrestre_(GIA)&diff=965&oldid=prevPedro: Página creada con «== Enunciado == Una partícula de masa <math>m</math> se mueve en el seno del campo gravitatorio terrestre cerca de la superficie, de modo que la aceleración de la gravedad puede suponerse constante y dirigida verticalmente a la superficie (<math>\vec{g}=-g\,\vec{k}</math>). Analiza el movimiento de la partícula para las siguientes condiciones iniciales #<math>\vec{r}(0)=\vec{0}</math>, <math>\vec{v}(0)=v_0\,\vec{k}</math>. #<math>\vec{r}(0)=h\,\vec{k}</math>, <math…»2023-10-10T17:35:33Z<p>Página creada con «== Enunciado == Una partícula de masa <math>m</math> se mueve en el seno del campo gravitatorio terrestre cerca de la superficie, de modo que la aceleración de la gravedad puede suponerse constante y dirigida verticalmente a la superficie (<math>\vec{g}=-g\,\vec{k}</math>). Analiza el movimiento de la partícula para las siguientes condiciones iniciales #<math>\vec{r}(0)=\vec{0}</math>, <math>\vec{v}(0)=v_0\,\vec{k}</math>. #<math>\vec{r}(0)=h\,\vec{k}</math>, <math…»</p>
<p><b>Página nueva</b></p><div>== Enunciado ==<br />
Una partícula de masa <math>m</math> se mueve en el seno del campo gravitatorio terrestre cerca de la superficie, de modo que la aceleración de la gravedad puede suponerse constante y dirigida verticalmente a la superficie (<math>\vec{g}=-g\,\vec{k}</math>). Analiza el movimiento de la partícula para las siguientes condiciones iniciales<br />
#<math>\vec{r}(0)=\vec{0}</math>, <math>\vec{v}(0)=v_0\,\vec{k}</math>.<br />
#<math>\vec{r}(0)=h\,\vec{k}</math>, <math>\vec{v}(0)=v_0\,\vec{\imath}</math>.<br />
#<math>\vec{r}(0)=\vec{0}</math>, <math>\vec{v}(0)=\vec{v}_0=v_0\cos\alpha\,\vec{\imath} + v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{k}</math>.<br />
<br />
== Solución ==<br />
El campo gravitatorio ejerce una fuerza <math>\vec{F}=m\,\vec{g}</math> sobre una partícula de masa <math>m</math>. <br />
Según la Segunda Ley de Newton la aceleración de la partícula es<br />
<center><math><br />
\vec{a} = \dfrac{1}{m}\vec{F} = \dfrac{1}{m}m\,\vec{g} = \vec{g}<br />
</math></center><br />
El enunciado nos da un sistema de ejes en el que la aceleración de la gravedad está<br />
dirigida en el sentido negativo del eje <math>OZ</math>, esto es<br />
<center><math><br />
\vec{g} = -g\,\vec{k}<br />
</math></center><br />
La velocidad de la partícula se calcula como la integral del vector aceleración en el<br />
tiempo. Si la velocidad inicial es <math>\vec{v}(0)</math> tenemos<br />
<center><math><br />
\int\limits_{\vec{v}(0)}^{\vec{v}(t)}\mathrm{d}\vec{v} = \int\limits_0^t\vec{a}\,\mathrm{d} t<br />
\Longrightarrow<br />
\vec{v}(t) = \vec{v}(0) - \int\limits_0^t g\,\vec{k}\,\mathrm{d} t<br />
</math></center><br />
Teniendo en cuenta que <math>g</math> y <math>\vec{k}</math> son constantes podemos hacer la integral para obtener<br />
<center><math><br />
\vec{v}(t) = \vec{v}(0) - g\,t\,\vec{k}<br />
</math></center><br />
La posición se determina de modo similar integrando la velocidad<br />
<center><math><br />
\int\limits_{\vec{r}(0)}^{\vec{r}(t)}\mathrm{d}\vec{r} = \int\limits_0^t \vec{v} \,\mathrm{d} t<br />
\Longrightarrow<br />
\vec{r}(t) = \vec{r}(0) + \int\limits_0^t\left(\vec{v}(0) - g\,t\,\vec{k} \right)\,\mathrm{d} t<br />
</math></center><br />
Como <math>\vec{v}(0)</math>, <math>g</math> y <math>\vec{k}</math> son constantes obtenemos<br />
<center><math><br />
\vec{r}(t) = \vec{r}(0) + \vec{v}(0)\,t - \dfrac{1}{2}g\,t^2\,\vec{k}<br />
</math></center><br />
Las expresiones para el vector de posición y de velocidad describen el movimiento de una partícula en el seno del<br />
campo gravitatorio. El movimiento concreto depende del valor de estas condiciones<br />
iniciales. Vamos a ver los tres casos descritos en el enunciado<br />
<br />
===Caso 1===<br />
<br />
[[Imagen:F1_GIA_p04_02_a.png|right]]<br />
[[Imagen:F1_GIA_p04_02_b.png|right]]<br />
Sustituyendo las condiciones iniciales tenemos<br />
<br />
<center><math><br />
\left.<br />
\begin{array}{l}<br />
\vec{v}(t) = (v_0 - g\,t) \, \vec{k} \\ \\<br />
\vec{r}(t) = \left(v_0t-\dfrac{1}{2}g\,t^2\right)\,\vec{k}<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math></center><br />
Tanto la velocidad como el vector de posición son paralelos al eje <math>OZ</math> en todo instante<br />
de tiempo. En <math>t=0</math> la velocidad es positiva (suponiendo <math>v_0>0</math>) por lo que la partícula<br />
sube verticalmente. AL avanzar el tiempo el término <math>gt\,</math> crece, hasta que iguala a <math>v_0</math><br />
y lo sobrepasa. En ese instante la velocidad es negativa y la partícula se desplaza hacia<br />
abajo. La trayectoria es una línea recta. Este caso corresponde al '''tiro vertical'''.<br />
<br />
El instante para el que la altura es máxima corresponde al momento en que la velocidad se<br />
hace cero<br />
<center><math><br />
v(t_{max}) = 0 \Longrightarrow t_{max} = v_0/g<br />
</math></center><br />
La altura máxima que alcanza la partícula se obtiene sustituyendo <math>t_{max}</math> en la<br />
expresión que da el vector de posición<br />
<center><math><br />
\vec{r}(t_{max}) = \dfrac{v_0^2}{2g}\,\vec{k}<br />
</math></center><br />
La figura muestra la orientación de la velocidad y el vector de posición antes y después<br />
de que la partícula alcance su máxima altura. A la derecha están representados la<br />
evolución en el tiempo de la velocidad y la altura para el caso <math>v_0=1\,\mathbf{m/s}</math>. El<br />
máximo de la altura corresponde al cero de la velocidad, como debe ser pues la velocidad<br />
es la derivada de la altura. Mientras que la velocidad es positiva la altura crece, y<br />
cuando se hace negativa decrece.<br />
<br />
===Caso 2===<br />
[[Imagen:F1_GIA_p04_02_c.png|right]]<br />
[[Imagen:F1_GIA_p04_02_d.png|right]]<br />
<br />
Aplicando las condiciones iniciales tenemos<br />
<center><math><br />
\left.<br />
\begin{array}{l}<br />
\vec{v}(t) = v_0\,\vec{\imath} - g\,t \, \vec{k} \\ \\<br />
\vec{r}(t) = v_0t\,\vec{\imath} + \left(h-\dfrac{1}{2}g\,t^2\right)\,kb<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math></center><br />
En <math>t=0</math> la velocidad de la partícula es horizontal. Según avanza el tiempo, la<br />
aceleración hace que aparezca una componente vertical hacia abajo. Esta situación<br />
corresponde al '''tiro horizontal'''. El desplazamiento de la partícula tiene una<br />
componente horizontal de movimiento con velocidad uniforme <math>v_0</math> y otra vertical con<br />
movimiento uniformemente acelerado.<br />
<br />
La figura muestra a la izquierda la trayectoria de la partícula y a la derecha la<br />
evolución de las componentes de la velocidad y la aceleración. La componente horizontal<br />
<math>v_x</math> es constante en el tiempo, mientras que el valor absoluto de la componente vertical<br />
<math>v_z(t)</math> crece linealmente con el tiempo. Por lo que respecta a las componentes<br />
espaciales, la horizontal crece linealmente y la vertical decrece con el cuadrado del<br />
tiempo.<br />
<br />
<br />
===Caso 3===<br />
<br />
Sustituyendo las condiciones iniciales tenemos<br />
<center><math><br />
\left.<br />
\begin{array}{l}<br />
\vec{v}(t) = v_0\cos\alpha\,\vec{\imath} +(v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha - g\,t) \, \vec{k} \\ \\<br />
\vec{r}(t) = t\,v_0\cos\alpha\,\vec{\imath} + \left(t\,v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha -\dfrac{1}{2}g\,t^2\right)\,kb<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math></center><br />
En <math>t=0</math> la velocidad forma un ángulo <math>\alpha</math> con la horizontal. La componente horizontal<br />
no cambia en el tiempo. La vertical es primero positiva, hasta que el término gravitatorio<br />
la anula y después la hace negativa. El movimiento corresponde a un '''tiro oblicuo'''.<br />
<br />
[[Categoría:Dinámica del punto material|1]]<br />
[[Categoría:Física I (G.I.A.)]]<br />
[[Categoría:Física I (G.I.T.I.)]]</div>Pedro