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Partícula deslizando sobre una barra horizontal con dos muelles (Ene. 2019 G.I.C.)

De Laplace

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Revisión de 18:34 29 ene 2019

1 Enunciado

Una partícula de masa m desliza por una barra fija horizontal, como se indica en la figura. La masa está conectada a dos muelles de longitud natural nula y constantes elásticas k1 = 3k y k2 = k. El contacto entre la partícula y la barra es rugoso.

  1. Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula. Encuentra las expresiones que dan las fuerzas que los muelles ejercen sobre la partícula.
  2. Calcula las fuerzas que actúan sobre la partícula cuando se encuentra en equilibrio estático.
  3. Si el coeficiente de rozamiento estático es μ, determina el rango de posibles posiciones de equilibrio.
  4. Suponemos ahora que no hay rozamiento. Encuentra la ecuación de movimiento de la partícula.
  5. En el instante inicial la partícula se encuentra en el puno B con velocidad v0 dirigida hacia la derecha. Encuentra la expresión x(t) que da la posición de la partícula en el tiempo.

2 Solución

2.1 Diagrama de cuerpo libre

La figura de la derecha muestra el diagrama de cuerpo libre de la partícula. Las fuerzas que actúan son el peso, las fuerzas de los muelles, la fuerza vincular normal de la barra y la fuerza de rozamiento de la barra sobre la partícula.

Los muelles tienen longitud natural nula, por lo que la fuerza que ejercen puede calcularse como


\vec{F}_1 = -k_1\overrightarrow{OA},  \qquad \vec{F}_1 = -k_2\overrightarrow{CA}

Estos vectores geométricos son


\begin{array}{l}
\overrightarrow{OA} = x\,\vec{\imath} + h\,\vec{\jmath},\\
\overrightarrow{CA} = x\,\vec{\imath} - h\,\vec{\jmath}
\end{array}

Las expresiones de las fuerzas en el sistema de ejes de la figura son


\begin{array}{l}
\vec{P} = -mg\,\vec{\jmath},\\
\vec{F}_1 = -3kx\,\vec{\imath} - 3kh\,\vec{\jmath},\\
\vec{F}_2 = -kx\,\vec{\imath} + kh\,\vec{\jmath},\\
\vec{N} = N\,\vec{\jmath},\\
\vec{F}_R = F_R\,\vec{\imath}.
\end{array}

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