Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Partícula con movimiento rectilíneo, Noviembre 2012 (G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula realiza un movimiento unidimensional, de modo que su velocidad y aceleración cumplen la relación a(t)\,v(t) = 3C^2t^2/2, siendo C una constante.

  1. ¿Cuales son las dimensiones de la constante C?
  2. Si la velocidad inicial es v(0) = v0, ¿cuál es la expresión de la velocidad en cualquier instante de tiempo?
  3. Supongamos que v0 = 0 y la posición inicial de la partícula es x(0) = 0. ¿Cuál es la posición de la partícula en cualquier instante de tiempo?

2 Solución

2.1 Dimensiones de la constante C

Las dimensiones de C2 son


[a\,v] = [ C^2 t^2] \Longrightarrow
[C^2] = \left[\dfrac{a\,v}{t^2}\right] = \dfrac{L\,T^{-2}\,L\,T^{-1}}{T^2}= L^2\,T^{-5}

Por tanto, las dimensiones de C son


[C] = L\,T^{-5/2}

2.2 Velocidad en función del tiempo

En el movimiento rectilíneo la aceleración es


a = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}

Utilizando esta definición, la expresión dada se convierte en una ecuación diferencial para v(t) de variables separables


v\,\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \dfrac{3C^2}{2}\,t^2

Separamos a cada lado las expresiones relacionadas con v y t


v\,\mathrm{d}v = \dfrac{3\,C^2}{2}\,t^2\,\mathrm{d}t

Integramos teniendo en cuenta las condiciones iniciales


\int\limits_{v_0}^{v(t)}v\,\mathrm{d}v = \int\limits_{0}^t\dfrac{3\,C^2}{2}\,t^2\,\mathrm{d}t

Integrando, obtenemos la expresión de v(t)


v(t) = \sqrt{v_0^2 + C^2\,t^3}

2.3 Posición de la partícula

Si v0 = 0, la velocidad es


v(t) = C\,t^{3/2}

Por otro lado la definición de velocidad en el movimiento rectilíneo es


v= \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \Longrightarrow \mathrm{d}x = v(t)\,\mathrm{d}t

Integrando, y teniendo en cuenta las condiciones iniciales tenemos


\int\limits_0^{x(t)}\mathrm{d}v = \int\limits_0^t C\,t^{3/2}\,\mathrm{d}t

El resultado es


x(t) = \dfrac{2\,C}{5}\,t^{5/2}

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Esta página fue modificada por última vez el 21:21, 18 nov 2012. - Esta página ha sido visitada 1.048 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace