Ver el código de «Partícula con cuerda deslizando sobre punto de una circunferencia (Nov. 2017 G.I.C.)»

= Enunciado =
[[Imagen:F1GIC_particula_cuerda_circunferencia_enunciado.png|right]]
Una partícula de masa <math>m</math> cuelga de una cuerda inextensible sin masa. La cuerda desliza sobre 
el punto <math>A</math>. A su vez, este punto se mueve sobre una circunferencia de radio <math>R</math>. La longitud de la
cuerda cambia en el tiempo según la ley <math>l(t) = 2R(1-\Omega t)</math>. En el instante
inicial el punto <math>A</math> se encontraba sobre el eje <math>X</math>, a la derecha del origen. 
#Escribe el vector de posición de la partícula
#El punto <math>A</math> realiza un movimiento circular uniforme con una aceleración que cumple <math>|\vec{a}_A| = 9R\Omega^2</math>. Encuentra la velocidad de la partícula <math>P</math>.
# Calcula el vector normal de la trayectoria de la partícula y su curvatura en el instante <math>t=0</math>.

= Solución =

== Vector de posición ==
El vector de posición de la partícula <math>P</math> puede escribirse como
<center>
<math>
\overrightarrow{OP} =
\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP}
</math>
</center>
Tenemos
<center>
<math>
\overrightarrow{OA} = R\cos\theta\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}.
</math>
</center>
Por otra parte
<center>
<math>
\overrightarrow{AP} = -\overline{AP}\,\vec{\jmath} = -(l-R)\,\vec{\jmath}
=
-(R-2\Omega t)\,\vec{\jmath}.
</math>
</center>
Entonces 
<center>
<math>
\overrightarrow{OP} = R\cos\theta\,\vec{\imath} 
+
R\,(\,\mathrm{sen}\,\theta -1 + 2\Omega t)\,\vec{\jmath}.

</math>
</center>

== Velocidad de la partícula ==
El punto <math>A</math> realiza un movimiento circular uniforme. Entonces
<center>
<math>
\dot{\theta}=cte, \qquad \ddot{\theta}=0.
</math>
</center>
Tenemos
<center>
<math>
\vec{v}_A = \dot{\overrightarrow{OA}} = -R\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + R\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}.
</math>
</center>
Y derivando otra vez
<center>
<math>
\vec{a}_A = \dot{\vec{v}}_A = -R\dot{\theta}^2\cos\theta\,\vec{\imath} - R\dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}.
</math>
</center>
El módulo de la aceleración es
<center>
<math>
|\vec{a}_A| = R\dot{\theta}^2 = 9R\Omega^2.
</math>
</center>
Entonces
<center>
<math>
\dot{\theta} = 3\Omega \Longrightarrow \theta = 3\Omega t.
</math>
</center>
Hemos usado que <math>\theta(0)=0</math>, como dice el enunciado, pues en el instante inicial el punto <math>A</math> estaba sobre el eje <math>X</math> a la derecha del origen.

Entonces, para el punto <math>P</math> tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{v}_P = R\Omega \,[-3\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + (2+3\cos\theta)\,\vec{\jmath}],\\
\vec{a}_P = -9R\Omega^2\,(\cos\theta\,\vec{\imath} + \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}).
\end{array}
</math>
</center>

== Vector normal y curvatura en el instante inicial ==
En <math>t=0</math> tenemos <math>\theta=0</math>. La velocidad y aceleración del punto <math>P</math> en ese instante son
<center>
<math>
\vec{v}_0 = 5R\Omega\,\vec{\jmath},
\qquad
\vec{a}_0 = -9R\Omega^2\,\vec{\imath}.
</math>
</center>
Como son perpendiculares, la aceleración sólo tiene componente normal. Es decir
<center>
<math>
a_N = |\vec{a}_0| = 9R\Omega^2
</math>
</center>
El vector normal es
<center>
<math>
\vec{N} = -\vec{\imath},
</math>
</center>
y la curvatura es
<center>
<math>
\kappa = \dfrac{a_N}{|\vec{v}_0|^2} = \dfrac{9}{25R}.
</math>
</center>

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