Partícula con aceleración dependiente de x

Enunciado

Una partícula se desplaza sobre el eje $OX$ de modo que su aceleración cumple en cada instante $a(x)=-A^{2}x$, siendo $A$ una constante. En la posición inicial la velocidad de la partícula es $v_{0}$. Determina la función $v(x)$.

Solución

La aceleración es

$a(x)={\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}$

Introducimos la regla de la cadena multiplicando y dividiendo por $\mathrm {d} x$

$a(x)={\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\,{\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}}$

Como una derivada se puede entender como un cociente intercambiamos los dos números que aparecen en el denominador.

$a(x)={\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}\,{\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}\,v$

Hemos usado que $v=\mathrm {d} x/\mathrm {d} t$. Con esto nos ha quedado una ecuación diferencial en variables separables que se pueden integrar.

$v\,\mathrm {d} v=a(x)\,\mathrm {d} x\Longrightarrow \int v\,\mathrm {d} v=\int -A^{2}x\,\mathrm {d} x\Longrightarrow {\dfrac {1}{2}}v^{2}=-{\dfrac {1}{2}}A^{2}x^{2}+C$

Imponiendo la condición inicial

$C={\dfrac {v_{0}^{2}}{2}}$

y por tanto

$v(x)={\sqrt {v_{0}^{2}-A^{2}x^{2}}}$

Ahora podemos plantear la ecuación diferencial para $x(t)$

${\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=v(x)\Longrightarrow {\dfrac {\mathrm {d} x}{v(x)}}=\mathrm {d} t\Longrightarrow {\dfrac {\mathrm {d} x}{\sqrt {v_{0}^{2}-A^{2}x^{2}}}}=\mathrm {d} t$

Para integrar hacemos el cambio

$x={\dfrac {v_{0}}{A}}\,\mathrm {sen} \,u\Longrightarrow \mathrm {d} x={\dfrac {v_{0}}{A}}\cos u\,\mathrm {d} u\Longrightarrow {\dfrac {\mathrm {d} x}{\sqrt {v_{0}^{2}-A^{2}x^{2}}}}={\dfrac {\mathrm {d} u}{A}}$

Integrando queda

$\int {\dfrac {\mathrm {d} u}{A}}=\int \mathrm {d} t\Longrightarrow u=At+D$

Y entonces

$x={\dfrac {v_{0}}{A}}\,\mathrm {sen} \,(At+D)$

Si en $t=0$ tenemos $x=x_{0}$ nos queda

$D=\,\mathrm {arcsen} \,\left({\dfrac {x_{0}A}{v_{0}}}\right)$