Partícula colgando de una cuerda con longitud variable, Enero 2021 (G.I.E.R.M.)

Enunciado

El punto $A$ recorre la línea de puntos con rapidez constante $v_{0}=\lambda R$, siendo $\lambda$ una constante. La masa $m$ cuelga de una cuerda que desliza sobre el punto $A$. La longitud total de la cuerda (es decir, la suma de las longitudes ${\overline {OA}}$ y ${\overline {AB}}$) varía en el tiempo según la ley $L=R\lambda ^{2}t^{2}+R{\sqrt {1+\lambda ^{2}t^{2}}}$. Esto puede realizarse con un pequeño motor que desenrolle la cuerda en $O$. En el instante inicial el punto $A$ se encontraba sobre el eje $Y$. Durante todo el movimiento el trozo de cuerda entre $A$ y $B$ se mantiene vertical.

1. Escribe el vector ${\overrightarrow {OB}}$. ¿Que tipo de curva describe la masa?
2. Calcula la velocidad y aceleración de la masa en todo instante de tiempo.
3. Calcula fuerza que la cuerda ejerce sobre la masa y la potencia que le transmite.

Solución

Vector de posición de la masa

El vector pedido se puede escribir como

${\overrightarrow {OB}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AB}}$

El punto $A$ realiza un movimiento rectilíneo uniforme. Como en el instante inicial se encontraba sobre el eje $OY$ tenemos

${\overrightarrow {OA}}=v_{0}t\,{\vec {\imath }}_{1}+R\,{\vec {\jmath }}_{1}=\lambda Rt\,{\vec {\imath }}_{1}+R\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Para el segundo vector tenemos

${\overrightarrow {AB}}=-{\overline {AB}}\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

La longitud ${\overline {AB}}$ es

$|{\overline {AB}}|=L-|{\overrightarrow {OA}}|=L-R\,{\sqrt {1+\lambda ^{2}t^{2}}}=R\lambda ^{2}t^{2}.$

Entonces el vector buscado es

${\overrightarrow {OB}}=\lambda Rt\,{\vec {\imath }}_{1}+R\,(1-\lambda ^{2}t^{2})\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Si escribimos este vector como

${\overrightarrow {OB}}=x_{B}(t)\,{\vec {\imath }}_{1}+y_{B}(t)\,{\vec {\jmath }}_{1}$

vemos que las componentes cartesianas son

${\begin{array}{l}x_{B}=\lambda Rt,\\y_{B}=R(1-\lambda ^{2}t^{2}).\end{array}}$

Despejando el tiempo en la primera expresión obtenemos la ecuación implícita de la trayectoria

$y_{b}=R\,\left(1-{\dfrac {x_{B}^{2}}{R^{2}}}\right).$

Esta es l ecuación de una parábola

Velocidad y aceleración

Obtenemos la velocidad derivando respecto al tiempo el vector de posición de la masa

${\vec {v}}={\dot {\overrightarrow {OB}}}=\lambda R\,{\vec {\imath }}_{1}-2R\lambda ^{2}t\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Derivamos otra vez respecto al tiempo para obtener la aceleración

${\vec {a}}={\dot {\vec {v}}}=-2R\lambda ^{2}\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Fuerza de la cuerda

Aplicamos la Segunda Ley de Newton. Las fuerzas que actúan sobre la masa son su peso y la tensión de la cuerda

$m{\vec {a}}={\vec {P}}+{\vec {T}}\Longrightarrow {\vec {T}}=m{\vec {a}}-{\vec {P}}=m\,(g-2R\lambda ^{2})\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

La potencia que transmite la cuerda es

$P_{T}={\vec {T}}\cdot {\vec {v}}=-2mR\lambda ^{2}t\,(g-2R\lambda ^{2}).$