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Partícula colgando de una cuerda con longitud variable, Enero 2021 (G.I.E.R.M.)

De Laplace

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Pedro (Discusión | contribuciones)
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Contenido

1 Enunciado

El punto A recorre la línea de puntos con rapidez constante v0 = λR, siendo λ una constante. La masa m cuelga de una cuerda que desliza sobre el punto A. La longitud total de la cuerda (es decir, la suma de las longitudes \overline{OA} y \overline{AB}) varía en el tiempo según la ley L = R\lambda^2 t^2 + R\sqrt{1+\lambda^2t^2}. Esto puede realizarse con un pequeño motor que desenrolle la cuerda en O. En el instante inicial el punto A se encontraba sobre el eje Y. Durante todo el movimiento el trozo de cuerda entre A y B se mantiene vertical.

  1. Escribe el vector \overrightarrow{OB}. ¿Que tipo de curva describe la masa?
  2. Calcula la velocidad y aceleración de la masa en todo instante de tiempo.
  3. Calcula fuerza que la cuerda ejerce sobre la masa y la potencia que le transmite.

2 Solución

2.1 Vector de posición de la masa

El vector pedido se puede escribir como


\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}

El punto A realiza un movimiento rectilíneo uniforme. Como en el instante inicial se encontraba sobre el eje OY tenemos


\overrightarrow{OA} = v_0t\,\vec{\imath}_1 + R\,\vec{\jmath}_1 
=
\lambda Rt\,\vec{\imath}_1 + R\,\vec{\jmath}_1.

Para el segundo vector tenemos


\overrightarrow{AB} = -\overline{AB}\,\vec{\jmath}_1.

La longitud \overline{AB} es


|\overline{AB}| = L - |\overrightarrow{OA}| = L - R\,\sqrt{1 + \lambda^2t^2 }
=
R\lambda^2t^2.

Entonces el vector buscado es


\overrightarrow{OB} = \lambda Rt\,\vec{\imath}_1 + R\,(1-\lambda^2t^2)\,\vec{\jmath}_1.

Si escribimos este vector como


\overrightarrow{OB} = x_B(t)\,\vec{\imath}_1 + y_B(t)\,\vec{\jmath}_1

vemos que las componentes cartesianas son


\begin{array}{l}
x_B = \lambda Rt,\\
y_B = R(1-\lambda^2t^2).
\end{array}

Despejando el tiempo en la primera expresión obtenemos la ecuación implícita de la trayectoria


y_b = R\,\left(1-\dfrac{x_B^2}{R^2}\right).

Esta es l ecuación de una parábola

2.2 Velocidad y aceleración

Obtenemos la velocidad derivando respecto al tiempo el vector de posición de la masa


\vec{v} = \dot{\overrightarrow{OB}} = \lambda R\,\vec{\imath}_1 -2R\lambda^2t\,\vec{\jmath}_1.

Derivamos otra vez respecto al tiempo para obtener la aceleración


\vec{a} = \dot{\vec{v}} = -2R\lambda^2\,\vec{\jmath}_1.

2.3 Fuerza de la cuerda

Aplicamos la Segunda Ley de Newton. Las fuerzas que actúan sobre la masa son su peso y la tensión de la cuerda


m\vec{a} = \vec{P} + \vec{T} \Longrightarrow
\vec{T} = m\vec{a} - \vec{P} = m\,(g-2R\lambda^2)\,\vec{\jmath}_1.

La potencia que transmite la cuerda es


P_T = \vec{T}\cdot\vec{v} = - 2mR\lambda^2 t\,(g-2R\lambda^2).

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