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Ondas estacionarias

De Laplace

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Revisión de 11:20 14 mar 2010

Contenido

1 Superposición de ondas

Vamos a examinar ahora el caso de que tengamos dos ondas viajeras de la misma frecuencia y amplitud y propagándose en sentidos opuestos:

y_1 = A\cos(\omega t - k x)\,        y_2 = A\cos(\omega t+kx)\,

En este caso no es necesario introducir la constante \phi\, porque, para ondas que van en sentidos opuestos el concepto de desfase no tiene mucho sentido. Se puede incluir esta constante, pero los resultados no se diferencian en lo esencial de lo que se obtiene sin ella.

La superposición de estas dos señales se puede transformar aplicando relaciones trigonométricas

y=y_1 + y_2 = A\cos(\omega t - kx)+A\cos(\omega t + k x)=2A\cos(\omega t)\cos(kx)\,


Esta es la ecuación de una onda estacionaria, que se puede escribir en la forma

y = A(x)\cos(\omega t)\,        A(x) = 2A\cos(k x)\,

Lo que nos dice esta ecuación es que aunque tenemos la superposición de dos ondas viajeras, la suma es una onda en que todos los puntos oscilan en fase, con una amplitud dependiente de su posición. En los puntos en que resulta una amplitud A(x) negativa, debe entenderse que la amplitud es el valor absoluto de esta cantidad y que los puntos correspondientes están en oposición de fase (esto es, tienen una constante de fase igual a π).

Nodos
La amplitud varía como un coseno, lo cual implica que existen puntos para los cuales la amplitud de oscilación es nula. Estos puntos se denominan nodos. La posición de estos nodos la da la condición
A(x_n) = 2A\cos(kx_n) = 0\,   \Rightarrow    kx_n = \frac{\pi}{2}+n\pi   \Rightarrow    \Delta x = x_{n+1}-x_n = \frac{\pi}{k}=\frac{\lambda}{2}
La distancia entre nodos consecutivos es media longitud de onda
Vientres
Los puntos en que la amplitud de oscilación es máxima se denominan vientres. Los vientres se encuentran en los puntos medios entre nodos, y por tanto la distancia entre vientres consecutivos es también media longitud de onda, y la distancia de un vientre al nodo más próximo es λ / 4.

2 Reflexión de ondas

2.1 En un extremo fijo

2.2 En un extremo libre

3 Ondas entre dos puntos fijos

4 Ondas entre dos extremos libres

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