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Línea 1: |
Línea 1: |
| = Enunciado =
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| [[File:F1GIC-placaparedvertical-enunciado.png|right]]
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| Una placa cuadrada de masa <math>m</math> y lado <math>2d</math> se apoya en una pared vertical rugosa con coeficiente
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| de rozamiento estático <math>\mu=1</math>. Una fuerza <math>\vec{F}</math> empuja el bloque contra la pared.
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| El módulo de la fuerza es <math>F_0</math> y forma un ángulo <math>\beta</math> con el eje <math>Y_1</math>. La gravedad
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| actúa como se indica en la figura. El ángulo <math>\beta</math> verifica
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| <center>
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| <math>
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| \mathrm{sen}\,\beta = \dfrac{3}{5}, \qquad \cos\beta = \dfrac{4}{5}.
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| </math>
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| </center>
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| #Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la placa.
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| #Calcula el valor de las fuerzas que actúan sobre la placa en condiciones de equilibrio estático.
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| #¿Que condiciones debe cumplir <math>F_0</math> para que la placa no deslice?
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| #¿Que condiciones debe cumplir <math>F_0</math> para que la placa no vuelque respecto a la pared?
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| #¿Que condiciones debe cumplir <math>F_0</math> para que la placa ni deslice ni vuelque respecto a la pared?
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| = Solución =
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| == Diagrama de fuerzas ==
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| [[File:F1GIC-placaparedvertical-fuerzas.png|right]]
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| La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la placa: la fuerza aplicada <math>\vec{F}</math>, el peso <math>\vec{P}_g</math>, la fuerza vincular normal <math>\vec{E}</math> y la fuerza de rozamiento <math>\vec{E}_R</math>. Expresamos estas fuerzas en el sistema de ejes de la figura
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{lr}
| |
| \vec{F} = -F_0\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\imath} + F_0\cos\beta\,\vec{\jmath} = -\dfrac{3}{5}\,\vec{\imath} + \dfrac{4}{5}\,\vec{\jmath} & (B)\\
| |
| \vec{P}_g = -mg\,\vec{\jmath} & (G)\\
| |
| \vec{E} = E\,\vec{\imath} & (E)\\
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| \vec{E}_R = E_R\,\vec{\jmath} & (E)\\
| |
| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| Indicamos a la derecha el punto donde se aplican estas fuerzas. Todas ellas son vectores deslizantes, por
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| lo que se pueden deslizar sobre sus respectivas rectas soporte.
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| == Situación de equilibrio estático ==
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| Para que un sólido rígido esté en equilibrio estático deben cumplirse dos condiciones
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| <center>
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| <math>
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| \sum\limits_i \vec{F}_i = \vec{0},
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| \qquad
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| \sum\limits_i \vec{M}_{Pi} = \vec{0}.
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| </math>
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| </center>
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| Es decir, que la suma vectorial de fuerzas que actúan sobre el sólido se anule y que el momento de fuerzas
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| neto respecto a un punto cualquiera que actúen sobre el sólido también se anule.
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| La condición sobre la suma de fuerzas proporciona dos ecuaciones
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| <center>
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| <math>
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| \vec{F}+\vec{P}_g+\vec{E}+\vec{E}_R = \vec{0}
| |
| \to
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| \left\{
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| \begin{array}{llr}
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| X): & -\dfrac{3}{5}F_0+ E = 0 & (1)\\
| |
| &&\\
| |
| Y): & \dfrac{4}{5}F_0 + E_R - mg = 0 & (2)
| |
| \end{array}
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| \right.
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| </math>
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| </center>
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| Elegimos el punto <math>H</math> de la figura para calcular los momentos
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| <center>
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| <math>
| |
| \vec{M}_H =
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| \overrightarrow{HG}\times\vec{P}_g +
| |
| \overrightarrow{HB}\times\vec{F} +
| |
| \overrightarrow{HE}\times\vec{E} = \vec{0}.
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Los momentos son
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| <center>
| |
| <math>
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| \begin{array}{l}
| |
| \overrightarrow{HG}\times\vec{P}_g = (d\,\vec{\imath})\times(-mg\,\vec{\jmath}) = -mgd\,\vec{k},\\
| |
| \\
| |
| \overrightarrow{HB}\times\vec{F} =(2d\,\vec{\imath} - d\,\vec{\jmath})\times\left(-\dfrac{3}{5}F_0\,\vec{\imath} + \dfrac{4}{5}F_0\,\vec{\jmath}\right) = F_0d\,\vec{k},\\
| |
| \overrightarrow{HE}\times\vec{P}_g = (\delta\,\vec{\jmath})\times(E\,\vec{\imath}) = -E\delta\,\vec{k}.
| |
| \end{array}
| |
| </math>
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| </center>
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| Obtenemos la ecuación
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| <center>
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| <math>
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| F_0d - mgd - E\delta = 0 \qquad (3)
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| </math>
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| </center>
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| Tenemos tres incógnitas: <math>\{E, E_R, \delta\}</math> para tres ecuaciones. Resolviendo el sistema obtenemos
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
| |
| \vec{E} = \dfrac{3}{5}F_0\,\vec{\imath},\\
| |
| \\
| |
| \vec{E}_R = \left(mg-\dfrac{4}{5}F_0\right)\,\vec{\imath},\\
| |
| \\
| |
| \delta = \dfrac{5}{3}\,\left(1-\dfrac{mg}{F_0}\right)\,d.
| |
| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| == Análisis del deslizamiento ==
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| Para que no deslice debe cumplirse
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| <center>
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| <math>
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| |\vec{E}_R| \leq \mu |\vec{E}|
| |
| \Longrightarrow
| |
| \left| mg - \dfrac{4}{5}F_0\right| \leq \dfrac{3}{5}F_0
| |
| \Longrightarrow
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| |5mg-4F_0| \leq 3F_0.
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| </math>
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| </center>
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| Hemos usado que <math>\mu=1</math>. Tenemos que considerar dos posibles situaciones:
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| ===== <math>5mg>4F_0</math> =====
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| Entonces se tiene <math>|5mg-4F_0| = 5mg-4F_0</math> y la condición queda
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| <center>
| |
| <math>
| |
| 5mg-4F_0 \leq 3F_0
| |
| \Longrightarrow
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| F_0 \geq 5mg/7.
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| </math>
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| </center>
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| En este caso la fuerza de rozamiento apunta hacia arriba e impide que la placa deslice hacia abajo.
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| ===== <math>5mg<4F_0</math> =====
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| Entonces se tiene <math>|5mg-4F_0| = 4F_0-5mg</math> y la condición queda
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| <center>
| |
| <math>
| |
| 4F_0 -5mg \leq 3F_0
| |
| \Longrightarrow
| |
| F_0 \leq 5mg.
| |
| </math>
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| </center>
| |
| En este caso la fuerza de rozamiento apunta hacia abajo e impide que la placa deslice hacia arriba.
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|
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| Resumiendo las dos condiciones, para que no haya deslizamiento debe ocurrir
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| <center>
| |
| <math>
| |
| F_0\in \left[\dfrac{5}{7}mg, 5mg\right] = [0.714mg, 5mg]
| |
| </math>
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| </center>
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| == Análisis del vuelco ==
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| Para que la placa no vuelque debe ocurrir que
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| <center>
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| <math>
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| -d\leq\delta\leq d.
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| </math>
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| </center>
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| La condición de la izquierda es
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| <center>
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| <math>
| |
| \dfrac{5}{3}\,\left(1-\dfrac{mg}{F_0}\right)\,d\geq -d
| |
| \to
| |
| 5-\dfrac{5mg}{F_0} \geq -3
| |
| \to
| |
| 8 \geq \dfrac{5mg}{F_0}
| |
| \to
| |
| F_0\geq \dfrac{5}{8}mg.
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| La condición de la derecha es
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| <center>
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| <math>
| |
| \dfrac{5}{3}\,\left(1-\dfrac{mg}{F_0}\right)\,d\leq d
| |
| \to
| |
| 5-\dfrac{5mg}{F_0} \leq 3
| |
| \to
| |
| 2 \leq \dfrac{5mg}{F_0}
| |
| \to
| |
| F_0\leq \dfrac{5}{2}mg.
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| </math>
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| </center>
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| Es decir, para que no vuelque debe ocurrir
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| <center>
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| <math>
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| F_0\in \left[\dfrac{5}{8}mg, \dfrac{5}{2}mg\right] = [0.625mg, 2.5mg]
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| </math>
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| </center>
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| == Condición para que ni vuelque ni deslice ==
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| [[File:F1GIC-placaparedvertical-equilibrio.png|right]]
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| Para que ocurra esto deben cumplirse a la vez las condiciones de no deslizamiento y no vuelco.
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| La figura de la derecha muestra los intervalos de valores de <math>F_0/mg</math> para los que hay equilibrio
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| frente a vuelco. Para que se cumplan las dos cosas a la vez debe ocurrir
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| <center>
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| <math>
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| F_0\in [0.714mg, 2.5mg]
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| </math>
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| </center>
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| [[Categoría: Problemas de Estática]]
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| [[Categoría: Problemas de Estática del Sólido Rígido]]
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| [[Categoría:Problemas de examen]]
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| [[Categoría:Problemas de examen de F1 GIC]]
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