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Masas unidas por una cuerda con muelle

En el sistema mostrado en la figura la masa ${\displaystyle m_{1}}$ desliza sobre una superficie horizontal lisa. La masa ${\displaystyle m_{2}}$ se mueve siempre sobre una línea vertical. Se cumple ${\displaystyle m_{1}=m_{2}=m}$. Ambas masas son tan pequeñas que pueden considerarse puntuales. El muelle tiene constante elástica ${\displaystyle k=mg/L}$ y longitud natural nula. La longitud de la cuerda que une las masas es ${\displaystyle 2L}$. En el instante inicial se tiene ${\displaystyle x_{1}=0}$, de modo que la masa ${\displaystyle m_{2}}$ está a la misma altura que la masa ${\displaystyle m_{1}}$. En ese instante las masas están en reposo. En un primer momento consideramos que la polea no tiene masa.

1. Calcula la rapidez de la masa ${\displaystyle m_{2}}$ cuando golpea el suelo.
2. Ahora consideramos que el contacto entre la masa ${\displaystyle m_{1}}$ y la superficie horizontal es rugoso con coeficiente de rozamiento dinámico ${\displaystyle \mu }$. En esta situación, calcula la rapidez con que la masa ${\displaystyle m_{2}}$ golpea el suelo
3. ¿Qué condición debe cumplir ${\displaystyle \mu }$ para que la masa no llegue a impactar con el suelo?
4. Supongamos ahora que la polea es un aro de masa ${\displaystyle m}$ y radio ${\displaystyle R}$. El momento de inercia respecto un eje que pase por su centro es ${\displaystyle I=mR^{2}}$. Consideramos de nuevo la situación sin rozamiento. Calcula en este caso, la rapidez de la masa ${\displaystyle m_{2}}$ cuando golpea el suelo.