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No Boletín - Tres velocidades con tres parámetros n, p y q (Ex.Ene/12)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

En un instante dado, las posiciones y velocidades de tres puntos de un sólido rígido respecto a un triedro cartesiano OXYZ son las siguientes:

Punto \vec{r} (m) \vec{v} (m/s)
A \vec{\imath} \vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}
B \vec{\jmath} (1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}
C \vec{k} (1+p)\,\vec{\imath}+(1-q)\,\vec{\jmath}+\vec{k}
  1. Verifique que estos datos son compatibles con la rigidez del sólido independientemente de los valores de n\,, p\, y q\,.
  2. Determine la velocidad instantánea del punto O\, del sólido que se halla en el origen de coordenadas.
  3. ¿Para qué valores particulares de n\,, p\, y q\, estaría el sólido realizando una traslación instantánea?
  4. Halle el vector velocidad angular y la velocidad de deslizamiento del sólido en función de n\,, p\, y q\,.
  5. Determine qué condiciones matemáticas deberían cumplir n\,, p\, y q\, para que el sólido estuviera realizando un movimiento helicoidal instantáneo cuyo EIRMD pasara por el origen de coordenadas. ¿Qué valor tendría en tal caso la velocidad de deslizamiento?

2 Compatibilidad con la rigidez

La condición cinemática de rigidez consiste en la equiproyectividad del campo de velocidades:


\vec{v}_P\cdot\overrightarrow{PQ}=\vec{v}_Q\cdot\overrightarrow{PQ}

Sometiendo a examen a cada par de puntos:


\overrightarrow{AB}=-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} \vec{v}_A\cdot\overrightarrow{AB}=[\,\vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)=n \\ \vec{v}_B\cdot\overrightarrow{AB}=[\,(1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)=n\end{array}\right.

\overrightarrow{AC}=-\vec{\imath}+\vec{k}\,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} \vec{v}_A\cdot\overrightarrow{AC}=[\,\vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\imath}+\vec{k}\,)=-p \\ \vec{v}_C\cdot\overrightarrow{AC}=[\,(1+p)\,\vec{\imath}+(1-q)\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\imath}+\vec{k}\,)=-p\end{array}\right.

\overrightarrow{BC}=-\vec{\jmath}+\vec{k}\,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} \vec{v}_B\cdot\overrightarrow{BC}=[\,(1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\jmath}+\vec{k}\,)=q \\ \vec{v}_C\cdot\overrightarrow{BC}=[\,(1+p)\,\vec{\imath}+(1-q)\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\jmath}+\vec{k}\,)=q\end{array}\right.

se comprueba que se verifica la condición independientemente de los valores de n\,, p\, y q\,.

3 Velocidad del punto O

La velocidad del punto O\, se obtiene fácilmente aplicando la condición de equiproyectividad para los pares de puntos formados por O\, y cada uno de los otros tres puntos cuya velocidad conocemos.

Si la velocidad de O\, es


\vec{v}_O=v_x\,\vec{\imath}+v_y\,\vec{\jmath}+v_z\,\vec{k}

y exigimos la equiproyectividad para los pares de puntos ya comentados:


\vec{v}_O\cdot\overrightarrow{OA}=\vec{v}_A\cdot\overrightarrow{OA}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,(v_x\,\vec{\imath}+v_y\,\vec{\jmath}+v_z\,\vec{k}\,)\cdot\vec{\imath}=[\,\vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}\,]\cdot\vec{\imath}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,v_x=1

\vec{v}_O\cdot\overrightarrow{OB}=\vec{v}_B\cdot\overrightarrow{OB}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,
(v_x\,\vec{\imath}+v_y\,\vec{\jmath}+v_z\,\vec{k}\,)\cdot\vec{\jmath}=[\,(1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}\,]\cdot\vec{\jmath}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,v_y=1

\vec{v}_O\cdot\overrightarrow{OC}=\vec{v}_C\cdot\overrightarrow{OC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,
(v_x\,\vec{\imath}+v_y\,\vec{\jmath}+v_z\,\vec{k}\,)\cdot\vec{k}=[\,(1+p)\,\vec{\imath}+(1-q)\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,]\cdot\vec{k}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,v_z=1

obtenemos, pues, que la velocidad del punto O\, es:


\vec{v}_O=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m/s}

4 Caso de la traslación instantánea

El movimiento instantáneo del sólido rígido es una traslación si todos los puntos del sólido en ese instante tienen el mismo vector velocidad. Por tanto, habría que imponer la condición:


\vec{v}_A=\vec{v}_B=\vec{v}_C=\vec{v}_O=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m/s}

Igualando las componentes homólogas de las cuatro velocidades se tiene:


\left.\begin{array} {ccccccc} 1 & = & 1-n & = & 1+p & = & 1 \\ 1+n & = & 1 & = & 1-q & = & 1 \\ 1-p & = & 1+q & = & 1 & = & 1 \end{array}\right\}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, n=p=q=0

5 Vector velocidad angular y velocidad de deslizamiento

Podemos deducir el vector velocidad angular \,\vec{\omega}=\omega_x\,\vec{\imath}+\omega_y\,\vec{\jmath}+\omega_z\,\vec{k}\,\, del sólido, componente a componente, exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades en la relación entre las velocidades conocidas.

Por ejemplo, la relación entre \vec{v}_A\, y \vec{v}_O\, debe satisfacer la ecuación:


\vec{v}_A=\vec{v}_O+\vec{\omega}\times\overrightarrow{OA}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,[\,\vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}\,]=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)+(\omega_x\,\vec{\imath}+\omega_y\,\vec{\jmath}+\omega_z\,\vec{k}\,)\times\vec{\imath}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}=\vec{\imath}+(1+\omega_z)\,\vec{\jmath}+(1-\omega_y)\,\vec{k}

E igualando componente a componente:


\left.\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 1+n & = & 1+\omega_z  \\ 1-p & = & 1-\omega_y \end{array}\right\}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, \omega_z=n\,;\,\,\,\omega_y=p

Y relacionando de forma análoga \vec{v}_B\, y \vec{v}_O\,, podemos deducir la componente de \vec{\omega}\, que nos falta:


\vec{v}_B=\vec{v}_O+\vec{\omega}\times\overrightarrow{OB}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,[\,(1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}\,]=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)+(\omega_x\,\vec{\imath}+p\,\vec{\jmath}+n\,\vec{k}\,)\times\vec{\jmath}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,(1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}=(1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+\omega_x)\,\vec{k}

E igualando componente a componente:


\left.\begin{array}{rcl} 1-n & = & 1-n \\ 1 & = & 1  \\ 1+q & = & 1+\omega_x \end{array}\right\}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, \omega_x=q

Por tanto, el vector velocidad angular es:


\vec{\omega}=(q\,\vec{\imath}+p\,\vec{\jmath}+n\,\vec{k}\,)\,\,\mathrm{rad/s}

Y la velocidad de deslizamiento v_d\, es la proyección de la velocidad de cualquier punto sobre la velocidad angular:


v_d=\frac{\vec{v}_O\cdot\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}=\frac{(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\cdot(q\,\vec{\imath}+p\,\vec{\jmath}+n\,\vec{k}\,)}{|q\,\vec{\imath}+p\,\vec{\jmath}+n\,\vec{k}\,|}=\frac{q+p+n}{\sqrt{q^2+p^2+n^2}}\,\,\mathrm{m/s}

6 Caso del MHI con EIRMD pasando por O

Si el sólido rígido realiza un movimiento helicoidal instantáneo (MHI) cuyo eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (EIRMD) pasa por O\,, la velocidad del punto O\, ha de ser paralela al vector velocidad angular:


\vec{v}_O\parallel\vec{\omega}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, (\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k})\parallel (q\,\vec{\imath}+p\,\vec{\jmath}+n\,\vec{k}\,)\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, \frac{q}{1}=\frac{p}{1}=\frac{n}{1}

Y teniendo en cuenta además que \vec{\omega}\, es no nula en un MHI, podemos concluir que la condición para que el movimiento sea un MHI con EIRMD pasando por O\, es:


q=p=n\neq 0

Y la velocidad de deslizamiento en este caso resulta ser:


v_d=\frac{q+q+q}{\sqrt{q^2+q^2+q^2}}=\pm\sqrt{3}\,\,\mathrm{m/s}

donde el signo de v_d\, coincide con el signo de q\,.

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