Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

No Boletín - Tres velocidades con tres parámetros n, p y q (Ex.Ene/12)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Caso de la traslación instantánea)
(Caso de la traslación instantánea)
Línea 77: Línea 77:
Igualando las componentes homólogas de las cuatro velocidades se tiene:
Igualando las componentes homólogas de las cuatro velocidades se tiene:
<center><math>
<center><math>
-
\begin{array} {ccccccc} 1 & = & 1-n & = & 1+p & = & 1 \\ 1+n & = & 1 & = & 1-q & = & 1 \\ 1-p & = & 1+q & = & 1 & = & 1 \end{array}\right\}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, n=p=q=0
+
\left.\begin{array} {ccccccc} 1 & = & 1-n & = & 1+p & = & 1 \\ 1+n & = & 1 & = & 1-q & = & 1 \\ 1-p & = & 1+q & = & 1 & = & 1 \end{array}\right\}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, n=p=q=0
</math></center>
</math></center>

Revisión de 15:10 4 nov 2012

Contenido

1 Enunciado

En un instante dado, las posiciones y velocidades de tres puntos de un sólido rígido respecto a un triedro cartesiano OXYZ son las siguientes:

Punto \vec{r} (m) \vec{v} (m/s)
A \vec{\imath} \vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}
B \vec{\jmath} (1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}
C \vec{k} (1+p)\,\vec{\imath}+(1-q)\,\vec{\jmath}+\vec{k}
  1. Verifique que estos datos son compatibles con la rigidez del sólido independientemente de los valores de n\,, p\, y q\,.
  2. Determine la velocidad instantánea del punto O\, del sólido que se halla en el origen de coordenadas.
  3. ¿Para qué valores particulares de n\,, p\, y q\, estaría el sólido realizando una traslación instantánea?
  4. Halle el vector velocidad angular y la velocidad de deslizamiento del sólido en función de n\,, p\, y q\,.
  5. Determine qué condiciones matemáticas deberían cumplir n\,, p\, y q\, para que el sólido estuviera realizando un movimiento helicoidal instantáneo cuyo EIRMD pasara por el origen de coordenadas. ¿Qué valor tendría en tal caso la velocidad de deslizamiento?

2 Compatibilidad con la rigidez

La condición cinemática de rigidez consiste en la equiproyectividad del campo de velocidades:


\vec{v}_P\cdot\overrightarrow{PQ}=\vec{v}_Q\cdot\overrightarrow{PQ}

Sometiendo a examen a cada par de puntos:


\overrightarrow{AB}=-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} \vec{v}_A\cdot\overrightarrow{AB}=[\,\vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)=n \\ \vec{v}_B\cdot\overrightarrow{AB}=[\,(1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)=n\end{array}\right.

\overrightarrow{AC}=-\vec{\imath}+\vec{k}\,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} \vec{v}_A\cdot\overrightarrow{AC}=[\,\vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\imath}+\vec{k}\,)=-p \\ \vec{v}_C\cdot\overrightarrow{AC}=[\,(1+p)\,\vec{\imath}+(1-q)\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\imath}+\vec{k}\,)=-p\end{array}\right.

\overrightarrow{BC}=-\vec{\jmath}+\vec{k}\,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} \vec{v}_B\cdot\overrightarrow{BC}=[\,(1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\jmath}+\vec{k}\,)=q \\ \vec{v}_C\cdot\overrightarrow{BC}=[\,(1+p)\,\vec{\imath}+(1-q)\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\jmath}+\vec{k}\,)=q\end{array}\right.

se comprueba que se verifica la condición independientemente de los valores de n\,, p\, y q\,.

3 Velocidad del punto O\,

La velocidad del punto O\, se obtiene fácilmente aplicando la condición de equiproyectividad para los pares de puntos formados por O\, y cada uno de los otros tres puntos cuya velocidad conocemos.

Si la velocidad de O\, es


\vec{v}_O=v_x\,\vec{\imath}+v_y\,\vec{\jmath}+v_z\,\vec{k}

y exigimos la equiproyectividad para los pares de puntos ya comentados:


\vec{v}_O\cdot\overrightarrow{OA}=\vec{v}_A\cdot\overrightarrow{OA}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,(v_x\,\vec{\imath}+v_y\,\vec{\jmath}+v_z\,\vec{k}\,)\cdot\vec{\imath}=[\,\vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}\,]\cdot\vec{\imath}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,v_x=1

\vec{v}_O\cdot\overrightarrow{OB}=\vec{v}_B\cdot\overrightarrow{OB}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,
(v_x\,\vec{\imath}+v_y\,\vec{\jmath}+v_z\,\vec{k}\,)\cdot\vec{\jmath}=[\,(1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}\,]\cdot\vec{\jmath}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,v_y=1

\vec{v}_O\cdot\overrightarrow{OC}=\vec{v}_C\cdot\overrightarrow{OC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,
(v_x\,\vec{\imath}+v_y\,\vec{\jmath}+v_z\,\vec{k}\,)\cdot\vec{k}=[\,(1+p)\,\vec{\imath}+(1-q)\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,]\cdot\vec{k}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,v_z=1

obtenemos, pues, que la velocidad del punto O\, es:


\vec{v}_O=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m/s}

4 Caso de la traslación instantánea

El movimiento instantáneo del sólido rígido es una traslación si todos los puntos del sólido en ese instante tienen el mismo vector velocidad. Por tanto, habría que imponer la condición:


\vec{v}_A=\vec{v}_B=\vec{v}_C=\vec{v}_O=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m/s}

Igualando las componentes homólogas de las cuatro velocidades se tiene:


\left.\begin{array} {ccccccc} 1 & = & 1-n & = & 1+p & = & 1 \\ 1+n & = & 1 & = & 1-q & = & 1 \\ 1-p & = & 1+q & = & 1 & = & 1 \end{array}\right\}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, n=p=q=0

Es trivial comprobar que dicha condición se verifica si y sólo si:

n = p = q = 0

5 Vector velocidad angular y velocidad de deslizamiento

Podemos deducir el vector velocidad angular \,\vec{\omega}=\omega_x\,\vec{\imath}+\omega_y\,\vec{\jmath}+\omega_z\,\vec{k}\,\, del sólido, componente a componente, exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades en la relación entre las velocidades conocidas.

Por ejemplo, la relación entre \vec{v}_A\, y \vec{v}_O\, debe satisfacer la ecuación:


\vec{v}_A=\vec{v}_O+\vec{\omega}\times\overrightarrow{OA}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,[\,\vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}\,]=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)+(\omega_x\,\vec{\imath}+\omega_y\,\vec{\jmath}+\omega_z\,\vec{k}\,)\times\vec{\imath}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}=\vec{\imath}+(1+\omega_z)\,\vec{\jmath}+(1-\omega_y)\,\vec{k}

E igualando componente a componente:


\left.\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 1+n & = & 1+\omega_z  \\ 1-p & = & 1-\omega_y \end{array}\right\}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, \omega_z=n\,\;\,\,\,\omega_y=p

�vA = �vO + ω� ∧ O−→A = �vO + (ωx�ı + ωy�j + ωz�k) ∧�ı = �ı + (1+ωz)�j + (1 − ωy)�k ⇒ ωy = p ; ωz = n �vB = �vO + �ω ∧ O−−→B = �vO + (ωx�ı + ωy�j + ωz�k) ∧�j = (1− ωz)�ı +�j + (1 + ωx)�k ⇒ ωx = q ; ωz = n El vector velocidad angular es: �ω = q�ı + p�j + n�k La velocidad de deslizamiento (invariante escalar) es la proyecci´on de la velocidad de cualquier punto en la direcci´on de la velocidad angular: vd = �vO · �ω |�ω| = q + p + n

q2 + p2 + n2

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Aviso legal - Acerca de Laplace