Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

No Boletín - Tres velocidades con tres parámetros n, p y q (Ex.Ene/12)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Caso de la traslación instantánea)
Línea 73: Línea 73:
velocidad. Por tanto, habría que imponer la condición:
velocidad. Por tanto, habría que imponer la condición:
<center><math>
<center><math>
-
\vec{v}_A=\vec{v}_B=\vec{v}_C=\vec{v}_O
+
\vec{v}_A=\vec{v}_B=\vec{v}_C=\vec{v}_O=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m/s}
</math></center>
</math></center>
Es trivial comprobar que dicha condición se verifica si y sólo si:
Es trivial comprobar que dicha condición se verifica si y sólo si:

Revisión de 14:37 4 nov 2012

Contenido

1 Enunciado

En un instante dado, las posiciones y velocidades de tres puntos de un sólido rígido respecto a un triedro cartesiano OXYZ son las siguientes:

Punto \vec{r} (m) \vec{v} (m/s)
A \vec{\imath} \vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}
B \vec{\jmath} (1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}
C \vec{k} (1+p)\,\vec{\imath}+(1-q)\,\vec{\jmath}+\vec{k}
  1. Verifique que estos datos son compatibles con la rigidez del sólido independientemente de los valores de n\,, p\, y q\,.
  2. Determine la velocidad instantánea del punto O\, del sólido que se halla en el origen de coordenadas.
  3. ¿Para qué valores particulares de n\,, p\, y q\, estaría el sólido realizando una traslación instantánea?
  4. Halle el vector velocidad angular y la velocidad de deslizamiento del sólido en función de n\,, p\, y q\,.
  5. Determine qué condiciones matemáticas deberían cumplir n\,, p\, y q\, para que el sólido estuviera realizando un movimiento helicoidal instantáneo cuyo EIRMD pasara por el origen de coordenadas. ¿Qué valor tendría en tal caso la velocidad de deslizamiento?

2 Compatibilidad con la rigidez

La condición cinemática de rigidez consiste en la equiproyectividad del campo de velocidades:


\vec{v}_P\cdot\overrightarrow{PQ}=\vec{v}_Q\cdot\overrightarrow{PQ}

Sometiendo a examen a cada par de puntos:


\overrightarrow{AB}=-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} \vec{v}_A\cdot\overrightarrow{AB}=[\,\vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)=n \\ \vec{v}_B\cdot\overrightarrow{AB}=[\,(1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)=n\end{array}\right.

\overrightarrow{AC}=-\vec{\imath}+\vec{k}\,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} \vec{v}_A\cdot\overrightarrow{AC}=[\,\vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\imath}+\vec{k}\,)=-p \\ \vec{v}_C\cdot\overrightarrow{AC}=[\,(1+p)\,\vec{\imath}+(1-q)\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\imath}+\vec{k}\,)=-p\end{array}\right.

\overrightarrow{BC}=-\vec{\jmath}+\vec{k}\,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} \vec{v}_B\cdot\overrightarrow{BC}=[\,(1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\jmath}+\vec{k}\,)=q \\ \vec{v}_C\cdot\overrightarrow{BC}=[\,(1+p)\,\vec{\imath}+(1-q)\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\jmath}+\vec{k}\,)=q\end{array}\right.

se comprueba que se verifica la condición independientemente de los valores de n\,, p\, y q\,.

3 Velocidad del punto O\,

La velocidad del punto O\, se obtiene fácilmente aplicando la condición de equiproyectividad para los pares de puntos formados por O\, y cada uno de los otros tres puntos cuya velocidad conocemos.

Si la velocidad de O\, es


\vec{v}_O=v_x\,\vec{\imath}+v_y\,\vec{\jmath}+v_z\,\vec{k}

y exigimos la equiproyectividad para los pares de puntos ya comentados:


\vec{v}_O\cdot\overrightarrow{OA}=\vec{v}_A\cdot\overrightarrow{OA}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,(v_x\,\vec{\imath}+v_y\,\vec{\jmath}+v_z\,\vec{k}\,)\cdot\vec{\imath}=[\,\vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}\,]\cdot\vec{\imath}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,v_x=1

\vec{v}_O\cdot\overrightarrow{OB}=\vec{v}_B\cdot\overrightarrow{OB}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,
(v_x\,\vec{\imath}+v_y\,\vec{\jmath}+v_z\,\vec{k}\,)\cdot\vec{\jmath}=[\,(1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}\,]\cdot\vec{\jmath}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,v_y=1

\vec{v}_O\cdot\overrightarrow{OC}=\vec{v}_C\cdot\overrightarrow{OC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,
(v_x\,\vec{\imath}+v_y\,\vec{\jmath}+v_z\,\vec{k}\,)\cdot\vec{k}=[\,(1+p)\,\vec{\imath}+(1-q)\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,]\cdot\vec{k}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,v_z=1

obtenemos, pues, que la velocidad del punto O\, es:


\vec{v}_O=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m/s}

4 Caso de la traslación instantánea

El movimiento instantáneo del sólido rígido es una traslación si todos los puntos del sólido en ese instante tienen el mismo vector velocidad. Por tanto, habría que imponer la condición:


\vec{v}_A=\vec{v}_B=\vec{v}_C=\vec{v}_O=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m/s}

Es trivial comprobar que dicha condición se verifica si y sólo si:

n = p = q = 0

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Aviso legal - Acerca de Laplace