Ver código fuente

==Enunciado==

En un instante dado, las posiciones y velocidades de tres puntos de un sólido rígido respecto a un triedro cartesiano OXYZ son las siguientes:

{| class="bordeado"
|-
! Punto
! <math>\vec{r}</math> (m)
! <math>\vec{v}</math> (m/s)
|-
! A
| <math>\vec{\imath}</math>
| <math>\vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}</math>
|-
! B
| <math>\vec{\jmath}</math>
| <math>(1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}</math>
|-
! C
| <math>\vec{k}</math>
| <math>(1+p)\,\vec{\imath}+(1-q)\,\vec{\jmath}+\vec{k}</math>
|}

# Verifique que estos datos son compatibles con la rigidez del sólido independientemente de los valores de <math>n\,</math>, <math>p\,</math> y <math>q\,</math>.
# Determine la velocidad instantánea del punto <math>O\,</math> del sólido que se halla en el origen de coordenadas.
# ¿Para qué valores particulares de <math>n\,</math>, <math>p\,</math> y <math>q\,</math> estaría el sólido realizando una traslación instantánea?
# Halle el vector velocidad angular y la velocidad de deslizamiento del sólido en función de <math>n\,</math>, <math>p\,</math> y <math>q\,</math>.
# Determine qué condiciones matemáticas deberían cumplir <math>n\,</math>, <math>p\,</math> y <math>q\,</math> para que el sólido estuviera realizando un movimiento helicoidal instantáneo cuyo EIRMD pasara por el origen de coordenadas. ¿Qué valor tendría en tal caso la velocidad de deslizamiento?

==Compatibilidad con la rigidez==
La condición cinemática de rigidez consiste en la equiproyectividad del campo de velocidades:
<center><math>
\vec{v}_P\cdot\overrightarrow{PQ}=\vec{v}_Q\cdot\overrightarrow{PQ}
</math></center>
Sometiendo a examen a cada par de puntos:
<center><math>
\overrightarrow{AB}=-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} \vec{v}_A\cdot\overrightarrow{AB}=[\,\vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)=n \\ \vec{v}_B\cdot\overrightarrow{AB}=[\,(1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)=n\end{array}\right.
</math></center>
<center><math>
\overrightarrow{AC}=-\vec{\imath}+\vec{k}\,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} \vec{v}_A\cdot\overrightarrow{AC}=[\,\vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\imath}+\vec{k}\,)=-p \\ \vec{v}_C\cdot\overrightarrow{AC}=[\,(1+p)\,\vec{\imath}+(1-q)\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\imath}+\vec{k}\,)=-p\end{array}\right.
</math></center>
<center><math>
\overrightarrow{BC}=-\vec{\jmath}+\vec{k}\,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} \vec{v}_B\cdot\overrightarrow{BC}=[\,(1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\jmath}+\vec{k}\,)=q \\ \vec{v}_C\cdot\overrightarrow{BC}=[\,(1+p)\,\vec{\imath}+(1-q)\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\jmath}+\vec{k}\,)=q\end{array}\right.
</math></center>
se comprueba que se verifica la condición independientemente de los valores de <math>n\,</math>, <math>p\,</math> y <math>q\,</math>.

==Velocidad del punto O==
La velocidad del punto <math>O\,</math> se obtiene fácilmente aplicando la condición de equiproyectividad para los pares de puntos formados por <math>O\,</math> y cada uno de los otros tres puntos cuya velocidad conocemos. 

Si la velocidad de <math>O\,</math> es
<center><math>
\vec{v}_O=v_x\,\vec{\imath}+v_y\,\vec{\jmath}+v_z\,\vec{k}
</math></center>
y exigimos la equiproyectividad para los pares de puntos ya comentados: 
<center><math>
\vec{v}_O\cdot\overrightarrow{OA}=\vec{v}_A\cdot\overrightarrow{OA}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,(v_x\,\vec{\imath}+v_y\,\vec{\jmath}+v_z\,\vec{k}\,)\cdot\vec{\imath}=[\,\vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}\,]\cdot\vec{\imath}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,v_x=1
</math></center>
<center><math>
\vec{v}_O\cdot\overrightarrow{OB}=\vec{v}_B\cdot\overrightarrow{OB}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,
(v_x\,\vec{\imath}+v_y\,\vec{\jmath}+v_z\,\vec{k}\,)\cdot\vec{\jmath}=[\,(1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}\,]\cdot\vec{\jmath}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,v_y=1
</math></center>
<center><math>
\vec{v}_O\cdot\overrightarrow{OC}=\vec{v}_C\cdot\overrightarrow{OC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,
(v_x\,\vec{\imath}+v_y\,\vec{\jmath}+v_z\,\vec{k}\,)\cdot\vec{k}=[\,(1+p)\,\vec{\imath}+(1-q)\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,]\cdot\vec{k}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,v_z=1
</math></center>
obtenemos, pues, que la velocidad del punto <math>O\,</math> es:
<center><math>
\vec{v}_O=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m/s}
</math></center>

==Caso de la traslación instantánea==
El movimiento instantáneo del sólido rígido es una traslación si todos los puntos del sólido en ese instante tienen el mismo vector
velocidad. Por tanto, habría que imponer la condición:
<center><math>
\vec{v}_A=\vec{v}_B=\vec{v}_C=\vec{v}_O=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m/s}
</math></center>
Igualando las componentes homólogas de las cuatro velocidades se tiene:
<center><math>
\left.\begin{array} {ccccccc} 1 & = & 1-n & = & 1+p & = & 1 \\ 1+n & = & 1 & = & 1-q & = & 1 \\ 1-p & = & 1+q & = & 1 & = & 1 \end{array}\right\}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, n=p=q=0
</math></center>

==Vector velocidad angular y velocidad de deslizamiento==
Podemos deducir el vector velocidad angular <math>\,\vec{\omega}=\omega_x\,\vec{\imath}+\omega_y\,\vec{\jmath}+\omega_z\,\vec{k}\,\,</math> del sólido, componente a componente, exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades en la relación entre las velocidades conocidas.

Por ejemplo, la relación entre <math>\vec{v}_A\,</math> y <math>\vec{v}_O\,</math> debe satisfacer la ecuación:
<center><math>
\vec{v}_A=\vec{v}_O+\vec{\omega}\times\overrightarrow{OA}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,[\,\vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}\,]=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)+(\omega_x\,\vec{\imath}+\omega_y\,\vec{\jmath}+\omega_z\,\vec{k}\,)\times\vec{\imath}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}=\vec{\imath}+(1+\omega_z)\,\vec{\jmath}+(1-\omega_y)\,\vec{k}
</math></center>
E igualando componente a componente:
<center><math>
\left.\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 1+n & = & 1+\omega_z  \\ 1-p & = & 1-\omega_y \end{array}\right\}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, \omega_z=n\,;\,\,\,\omega_y=p
</math></center>
Y relacionando de forma análoga <math>\vec{v}_B\,</math> y <math>\vec{v}_O\,</math>, podemos deducir la componente de <math>\vec{\omega}\,</math> que nos falta:
<center><math>
\vec{v}_B=\vec{v}_O+\vec{\omega}\times\overrightarrow{OB}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,[\,(1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}\,]=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)+(\omega_x\,\vec{\imath}+p\,\vec{\jmath}+n\,\vec{k}\,)\times\vec{\jmath}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,(1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}=(1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+\omega_x)\,\vec{k}
</math></center>
E igualando componente a componente:
<center><math>
\left.\begin{array}{rcl} 1-n & = & 1-n \\ 1 & = & 1  \\ 1+q & = & 1+\omega_x \end{array}\right\}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, \omega_x=q
</math></center>
Por tanto, el vector velocidad angular es:
<center><math>
\vec{\omega}=(q\,\vec{\imath}+p\,\vec{\jmath}+n\,\vec{k}\,)\,\,\mathrm{rad/s}
</math></center>

Y la velocidad de deslizamiento <math>v_d\,</math> es la proyección de la velocidad de cualquier punto sobre la velocidad angular:
<center><math>
v_d=\frac{\vec{v}_O\cdot\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}=\frac{(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\cdot(q\,\vec{\imath}+p\,\vec{\jmath}+n\,\vec{k}\,)}{|q\,\vec{\imath}+p\,\vec{\jmath}+n\,\vec{k}\,|}=\frac{q+p+n}{\sqrt{q^2+p^2+n^2}}\,\,\mathrm{m/s}
</math></center>

==Caso del MHI con EIRMD pasando por O==
Si el sólido rígido realiza un movimiento helicoidal instantáneo (MHI) cuyo eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (EIRMD) pasa
por <math>O\,</math>, la velocidad del punto <math>O\,</math> ha de ser paralela al vector velocidad angular:
<center><math>
\vec{v}_O\parallel\vec{\omega}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, (\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k})\parallel (q\,\vec{\imath}+p\,\vec{\jmath}+n\,\vec{k}\,)\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, \frac{q}{1}=\frac{p}{1}=\frac{n}{1}
</math></center>
Y teniendo en cuenta además que <math>\vec{\omega}\,</math> es no nula en un MHI, podemos concluir que la condición para que el movimiento sea un MHI con EIRMD pasando por <math>O\,</math> es:
<center><math>
q=p=n\neq 0
</math></center>
Y la velocidad de deslizamiento en este caso resulta ser:
<center><math>
v_d=\frac{q+q+q}{\sqrt{q^2+q^2+q^2}}=\pm\sqrt{3}\,\,\mathrm{m/s}
</math></center>
donde el signo de <math>v_d\,</math> coincide con el signo de <math>q\,</math>.

[[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido (G.I.T.I.)]]
[[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido]]