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No Boletín - Suma y resta de dos vectores con módulos iguales (Ex.Sep/15)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Enunciado)
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==Enunciado==
==Enunciado==
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Sean <math>\,\vec{a}\,</math> y <math>\vec{b}\,\,</math> dos vectores libres no nulos y no paralelos (<math>\vec{a}\times\vec{b}\neq\vec{0}\,</math>), pero con módulos iguales (<math>|\vec{a}\,|=|\vec{b}\,|\,</math>). ¿Cuál de las siguientes relaciones existe con carácter general entre el vector diferencia <math>(\vec{a}-\vec{b}\,)\,</math> y el vector suma <math>(\vec{a}+\vec{b}\,)\,</math>?
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1Sean <math>\,\vec{a}\,</math> y <math>\vec{b}\,\,</math> dos vectores libres no nulos y no paralelos (<math>\vec{a}\times\vec{b}\neq\vec{0}\,</math>), pero con módulos iguales (<math>|\vec{a}\,|=|\vec{b}\,|\,</math>). ¿Cuál de las siguientes relaciones existe con carácter general entre el vector diferencia <math>(\vec{a}-\vec{b}\,)\,</math> y el vector suma <math>(\vec{a}+\vec{b}\,)\,</math>?
('''NOTA''': sólo una de las cuatro opciones es correcta).
('''NOTA''': sólo una de las cuatro opciones es correcta).

Revisión de 05:56 1 ene 2006

1 Enunciado

1Sean \,\vec{a}\, y \vec{b}\,\, dos vectores libres no nulos y no paralelos (\vec{a}\times\vec{b}\neq\vec{0}\,), pero con módulos iguales (|\vec{a}\,|=|\vec{b}\,|\,). ¿Cuál de las siguientes relaciones existe con carácter general entre el vector diferencia (\vec{a}-\vec{b}\,)\, y el vector suma (\vec{a}+\vec{b}\,)\,?

(NOTA: sólo una de las cuatro opciones es correcta).

(1) \vec{a}-\vec{b}=-\,(\vec{a}+\vec{b}\,)\,
(2) (\vec{a}-\vec{b}\,)\parallel(\vec{a}+\vec{b}\,)\,
(3) |\,\vec{a}-\vec{b}\,|=|\,\vec{a}+\vec{b}\,|\,
(4) (\vec{a}-\vec{b}\,)\perp(\vec{a}+\vec{b}\,)\,

2 Solución

Obsérvese que las cuatro relaciones propuestas como posibles respuestas corresponden geométricamente a que los vectores suma (\vec{a}+\vec{b}\,)\, y diferencia (\vec{a}-\vec{b}\,)\, sean vectores opuestos, paralelos, de igual longitud o perpendiculares, respectivamente.

Al ser \,\vec{a}\, y \vec{b}\,\, vectores no nulos, no paralelos y con igual módulo, podemos considerarlos geométricamente representativos de los lados de un rombo, en cuyo caso los vectores suma (\vec{a}+\vec{b}\,)\, y diferencia (\vec{a}-\vec{b}\,)\, corresponden a las dos diagonales del citado rombo. Y es obvio que las dos diagonales de un rombo no pueden ser vectores opuestos ni paralelos en ningún caso. Por tanto, hay que descartar las opciones (1) y (2).

Examinemos la opción (3). ¿Pueden tener igual longitud las dos diagonales de un rombo? Razonemos algebraicamente:


|\,\vec{a}\,-\,\vec{b}\,|=|\,\vec{a}\,+\,\vec{b}\,|\,\,\,\Rightarrow\,\,\,(\,\vec{a}\,-\,\vec{b}\,)\,\cdot\,(\,\vec{a}\,-\,\vec{b}\,)=(\,\vec{a}\,+\,\vec{b}\,)\,\cdot\,(\,\vec{a}\,+\,\vec{b}\,)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,|\,\vec{a}\,|^2+\,|\,\vec{b}\,|^2-2\,\vec{a}\,\cdot\,\vec{b}=|\,\vec{a}\,|^2+\,|\,\vec{b}\,|^2+\,2\,\vec{a}\,\cdot\,\vec{b}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\vec{a}\,\cdot\,\vec{b}=0

Se llega, pues, a la conclusión de que hay que descartar la relación (3) porque no se da con carácter general, sino sólamente en el caso particular de que los vectores \,\vec{a}\, y \,\vec{b}\, sean ortogonales, lo cual corresponde geométricamente a que el rombo sea en realidad un cuadrado.

Finalmente, examinemos la opción (4). ¿Son perpendiculares las diagonales de un rombo? Razonemos algebraicamente:


(\vec{a}\,-\,\vec{b}\,)\perp(\vec{a}\,+\,\vec{b}\,)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,(\vec{a}\,-\,\vec{b}\,)\,\cdot\,(\vec{a}\,+\,\vec{b}\,)=0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,|\,\vec{a}\,|^2-\,|\,\vec{b}\,|^2=0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,|\,\vec{a}\,|=|\,\vec{b}\,|

Queda así comprobado que la perpendicularidad de los vectores suma (\vec{a}+\vec{b}\,)\, y diferencia (\vec{a}-\vec{b}\,)\, sólo exige la igualdad de módulos entre \,\vec{a}\, y \vec{b}\,\, (las diagonales de un rombo son, por tanto, perpendiculares). Así que la respuesta correcta a este ejercicio es la (4).

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