No Boletín - Suma y resta de dos vectores con módulos iguales (Ex.Sep/15)

Enunciado

Sean $\,{\vec {a}}\,$ y ${\vec {b}}\,\,$ dos vectores libres no nulos y no paralelos (${\vec {a}}\times {\vec {b}}\neq {\vec {0}}\,$), pero con módulos iguales ($|{\vec {a}}\,|=|{\vec {b}}\,|\,$). ¿Cuál de las siguientes relaciones existe con carácter general entre el vector diferencia $({\vec {a}}-{\vec {b}}\,)\,$ y el vector suma $({\vec {a}}+{\vec {b}}\,)\,$?

(NOTA: sólo una de las cuatro opciones es correcta).

(1) ${\vec {a}}-{\vec {b}}=-\,({\vec {a}}+{\vec {b}}\,)\,$

(2) $({\vec {a}}-{\vec {b}}\,)\parallel ({\vec {a}}+{\vec {b}}\,)\,$

(3) $|\,{\vec {a}}-{\vec {b}}\,|=|\,{\vec {a}}+{\vec {b}}\,|\,$

(4) $({\vec {a}}-{\vec {b}}\,)\perp ({\vec {a}}+{\vec {b}}\,)\,$

Solución

Obsérvese que las cuatro relaciones propuestas como posibles respuestas corresponden geométricamente a que los vectores suma $({\vec {a}}+{\vec {b}}\,)\,$ y diferencia $({\vec {a}}-{\vec {b}}\,)\,$ sean vectores opuestos, paralelos, de igual longitud o perpendiculares, respectivamente.

Al ser $\,{\vec {a}}\,$ y ${\vec {b}}\,\,$ vectores no nulos, no paralelos y con igual módulo, podemos considerarlos geométricamente representativos de los lados de un rombo, en cuyo caso los vectores suma $({\vec {a}}+{\vec {b}}\,)\,$ y diferencia $({\vec {a}}-{\vec {b}}\,)\,$ corresponden a las dos diagonales del citado rombo. Y es obvio que las dos diagonales de un rombo no pueden ser vectores opuestos ni paralelos en ningún caso. Por tanto, hay que descartar las opciones (1) y (2).

Examinemos la opción (3). ¿Pueden tener igual longitud las dos diagonales de un rombo? Razonemos algebraicamente:

$|\,{\vec {a}}\,-\,{\vec {b}}\,|=|\,{\vec {a}}\,+\,{\vec {b}}\,|\,\,\,\Rightarrow \,\,\,(\,{\vec {a}}\,-\,{\vec {b}}\,)\,\cdot \,(\,{\vec {a}}\,-\,{\vec {b}}\,)=(\,{\vec {a}}\,+\,{\vec {b}}\,)\,\cdot \,(\,{\vec {a}}\,+\,{\vec {b}}\,)\,\,\,\Rightarrow$

$\Rightarrow \,\,\,|\,{\vec {a}}\,|^{2}+\,|\,{\vec {b}}\,|^{2}-2\,{\vec {a}}\,\cdot \,{\vec {b}}=|\,{\vec {a}}\,|^{2}+\,|\,{\vec {b}}\,|^{2}+\,2\,{\vec {a}}\,\cdot \,{\vec {b}}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,{\vec {a}}\,\cdot \,{\vec {b}}=0$

Se llega, pues, a la conclusión de que hay que descartar la relación (3) porque no se da con carácter general, sino sólamente en el caso particular de que los vectores $\,{\vec {a}}\,$ y $\,{\vec {b}}\,$ sean ortogonales, lo cual corresponde geométricamente a que el rombo sea en realidad un cuadrado.

Finalmente, examinemos la opción (4). ¿Son perpendiculares las diagonales de un rombo? Razonemos algebraicamente:

$({\vec {a}}\,-\,{\vec {b}}\,)\perp ({\vec {a}}\,+\,{\vec {b}}\,)\,\,\,\Rightarrow \,\,\,({\vec {a}}\,-\,{\vec {b}}\,)\,\cdot \,({\vec {a}}\,+\,{\vec {b}}\,)=0\,\,\,\Rightarrow \,\,\,|\,{\vec {a}}\,|^{2}-\,|\,{\vec {b}}\,|^{2}=0\,\,\,\Rightarrow \,\,\,|\,{\vec {a}}\,|=|\,{\vec {b}}\,|$

Queda así comprobado que la perpendicularidad de los vectores suma $({\vec {a}}+{\vec {b}}\,)\,$ y diferencia $({\vec {a}}-{\vec {b}}\,)\,$ sólo exige la igualdad de módulos entre $\,{\vec {a}}\,$ y ${\vec {b}}\,\,$ (las diagonales de un rombo son, por tanto, perpendiculares). Así que la respuesta correcta a este ejercicio es la (4).