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No Boletín - Persecución en el eje OX (Ex.Oct/19)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Ecuaciones del m.r.u. y del m.r.u.a.)
(Ecuaciones del m.r.u. y del m.r.u.a.)
Línea 28: Línea 28:
\begin{array}{ll}
\begin{array}{ll}
\mathrm{m.r.u.}: & \dot{x}=v\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,  x(t)=x(t_0)+v\,(t-t_0) \\ \\
\mathrm{m.r.u.}: & \dot{x}=v\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,  x(t)=x(t_0)+v\,(t-t_0) \\ \\
-
\mathrm{m.r.u.a.}: &  \ddot{x}=a\,\,\mathrm{(cte)} \,\,\,\longrightarrow\,\,\, \dot{x}(t)=\dot{x}(t_0)+a\,(t-t_0)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,x(t)=x(t_0)+\dot{x}(t_0)\,t+\displaystyle\frac{1}{2}\,a\,(t-t_0)^2
+
\mathrm{m.r.u.a.}: &  \ddot{x}=a\,\,\mathrm{(cte)} \,\,\,\longrightarrow\,\,\, \dot{x}(t)=\dot{x}(t_0)+a\,(t-t_0)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,x(t)=x(t_0)+\dot{x}(t_0)\,(t-t_0)+\displaystyle\frac{1}{2}\,a\,(t-t_0)^2
\end{array}
\end{array}
</math></center>
</math></center>

Revisión de 14:30 10 feb 2020

Contenido

1 Enunciado

Un coche circula por una carretera rectilínea (eje OX) con una velocidad constante de 30\,\vec{\imath}\,\,\mathrm{m/s}\, , y en cierto instante pasa por el lado de un motorista que se encuentra parado en el arcén. Transcurrido un tiempo de 2\,\,\mathrm{s}\, desde que pasó por su lado, el motorista inicia la persecución del coche, que realiza del siguiente modo: partiendo del reposo, mantiene una aceleración constante de 6\,\vec{\imath}\,\,\mathrm{m/s}^2\, hasta el instante en el que alcanza una velocidad de 48\,\vec{\imath}\,\,\mathrm{m/s}\, , instante a partir del cual mantiene constante dicha velocidad.

  1. ¿Cuánto tiempo transcurre desde el inicio de la persecución hasta que el motorista alcanza al coche?
  2. ¿Qué longitud total habrá recorrido el motorista cuando alcance al coche?

2 Preparación

Llamaremos C al coche y M al motorista.

Dado que los movimientos de C y M son rectilíneos y sobre el eje OX, prescindiremos del carácter vectorial de las magnitudes cinemáticas, es decir, utilizaremos la coordenada x\, de cada móvil para caracterizar su posición, y utilizaremos sus derivadas temporales primera \dot{x}\, y segunda \ddot{x}\, para caracterizar su velocidad y su aceleración, respectivamente.

Tomaremos como origen del eje OX (punto x=0\,) la posición en la que M se encuentra inicialmente parado.

En lo que se refiere a la escala del tiempo, eligiendo como origen el instante en el que M inicia la persecución de C, tendremos el siguiente etiquetado de los instantes relevantes del problema:


\begin{array}{lll}
t=-2\,\,\mathrm{s} & \,\longrightarrow\,\,\, & \mathrm{C}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por}\,\,\mathrm{el}\,\,\mathrm{lado}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{M}\,\,\mathrm{en}\,\,\mathrm{la}\,\,\mathrm{posicion}\,\, x=0 \\ \\
t=0\,\,\mathrm{s} & \,\longrightarrow\,\,\, & \mathrm{M}\,\,\mathrm{inicia}\,\,\mathrm{la}\,\,\mathrm{persecucion}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{C}\ \\ \\
t=t_1 & \,\longrightarrow\,\,\, & \mathrm{M}\,\,\mathrm{cambia}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{un}\,\,\,\mathrm{m.r.u.a.}\,\,\,\mathrm{a}\,\,\mathrm{un}\,\,\,\mathrm{m.r.u.} \\ \\
t=t_2 & \,\longrightarrow\,\,\, & \mathrm{M}\,\,\mathrm{alcanza}\,\,\mathrm{a}\,\,\mathrm{C}\,\,\mathrm{en}\,\,\mathrm{la}\,\,\mathrm{posicion}\,\, x=x_2
\end{array}

3 Ecuaciones del m.r.u. y del m.r.u.a.

Tratándose de movimientos tan elementales y conocidos como el movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.) y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.), utilizaremos para el análisis cinemático las ecuaciones específicas de dichos movimientos sin deducirlas:


\begin{array}{ll}
\mathrm{m.r.u.}: & \dot{x}=v\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,  x(t)=x(t_0)+v\,(t-t_0) \\ \\
\mathrm{m.r.u.a.}: &  \ddot{x}=a\,\,\mathrm{(cte)} \,\,\,\longrightarrow\,\,\, \dot{x}(t)=\dot{x}(t_0)+a\,(t-t_0)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,x(t)=x(t_0)+\dot{x}(t_0)\,(t-t_0)+\displaystyle\frac{1}{2}\,a\,(t-t_0)^2
\end{array}

donde, con carácter general, denominamos t_0\, al instante que adoptemos como instante inicial del movimiento elemental.

4 Cinemática del coche y del motorista

La cinemática de C queda definida en todo instante por la ecuación horaria:


x_C(t)=30\,(t+2)

que corresponde a la ecuación de un m.r.u. tomando como instante inicial t_0=-2\,\,\mathrm{s}\, y sustituyendo x_C(t_0)=0\, y v_C=30\,\,\mathrm{m/s}\,.

La cinemática de M tiene una primera etapa, que transcurre entre los instantes t=0\,\,\mathrm{s}\, y t=t_1\,, y que viene caracterizada por las ecuaciones:


\dot{x}_M(t)=6\,t\,;\,\,\,\,\, x_M(t)=3\,t^2

que corresponden a las ecuaciones de un m.r.u.a. tomando como instante inicial t_0=0\,\,\mathrm{s}\, y sustituyendo x_M(t_0)=0\,, \dot{x}_M(t_0)=0\, y a_M=6\,\,\mathrm{m/s}^2\,.

Podemos entonces determinar el instante final t=t_1\, de esta primera etapa del movimiento de M (sabemos que termina cuando la velocidad de M es igual a 48\,\,\mathrm{m/s}\,):


\dot{x}_M(t_1)=6\,t_1=48\,\,\Rightarrow\,\, t_1=\frac{48}{6}=8\,\,\mathrm{s}

y la posición de M al final de dicha etapa:


x_M(t_1)=3\,t_1^2=3\,(8^2)=192\,\,\mathrm{m}

La segunda etapa de la cinemática de M transcurre entre los instantes t=t_1\, y t=t_2\,, y viene caracterizada por la ecuación horaria:


x_M(t)=192+48\,(t-8)

que corresponde a la ecuación de un m.r.u. tomando como instante inicial t_0=t_1=8\,\,\mathrm{s}\, y sustituyendo x_M(t_0)=x_M(t_1)=192\,\,\mathrm{m}\, y v_M=48\,\,\mathrm{m/s}\,.

5 Respuesta a las dos preguntas formuladas

A continuación, igualamos las posiciones de M (en el m.r.u. de su segunda etapa) y de C (en el m.r.u. que ha mantenido siempre) para determinar el instante t=t_2\, en el que M alcanza a C:


x_M(t_2)=x_C(t_2) \,\,\Rightarrow\,\, 192+48\,(t_2-8)=30\,(t_2+2) \,\,\Rightarrow\,\, 18\,t_2=252 \,\,\Rightarrow\,\, t_2=\frac{252}{18}=14\,\,\mathrm{s}

Al haber considerado que la persecución se inició en t=0\,\,\mathrm{s}\,, la respuesta a la primera pregunta del ejercicio coincide precisamente con t_2\,. Por tanto, el tiempo transcurrido desde el inicio de la persecución hasta que el motorista alcanza al coche es de 14\,\,\mathrm{s}\,.

Finalmente, determinamos la posición x=x_2\, de M en el instante t=t_2\, en el que da alcance a C (que, lógicamente, coincide con la posición de C en dicho instante):


x_2=x_M(t_2)=192+48\,(t_2-8)=192+48\,(14-8)=480\,\,\mathrm{m}

Al haber adoptado como origen del eje OX (punto x=0\,) la posición en la que M se encontraba inicialmente parado, la respuesta a la segunda pregunta del ejercicio coincide precisamente con x_2\,. Por tanto, la longitud total que habrá recorrido el motorista cuando alcance al coche es de 480\,\,\mathrm{m}\,.

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