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No Boletín - Partícula unida a dos muelles (Ex.Feb/14)

De Laplace

1 Enunciado

Una partícula P\,, de masa m\,, se mueve en el eje OX\, sometida exclusivamente a las fuerzas que ejercen sobre ella dos resortes elásticos ideales. Ambos resortes tienen longitud natural nula, pero uno de ellos (OP\,) está anclado en el origen de coordenadas O\, y tiene constante elástica k\,, mientras que el otro (AP\,) está anclado en el punto A\, de coordenada x_{_{\! A}}\!=L\,\, y tiene constante elástica 2k\,.

  1. ¿Cuál es la posición de equilibrio?
  2. ¿Qué celeridad máxima alcanzará la partícula en su movimiento si en el instante inicial se halla en reposo en el punto medio entre O\, y A\,?

2 Posición de equilibrio

La fuerza neta que actúa sobre la partícula P\, es la suma vectorial de las fuerzas que ejercen sobre ella los dos resortes:


\vec{F}=-\,k\,\overrightarrow{OP}-2k\,\overrightarrow{AP}

y sustituyendo en esta expresión los vectores de posición de P\, respecto a los puntos de anclaje de los resortes (O\, y A\,):


\overrightarrow{OP}=x\,\vec{\imath}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow{AP}=-\,(L-x)\,\vec{\imath}

se obtiene:


\vec{F}=-\,k\,[x-2(L-x)]\,\vec{\imath}=k\,(2L-3x)\,\vec{\imath}

Exigiendo la condición de equilibrio (fuerza neta igual a cero), obtenemos la posición de equilibrio de la partícula:


\vec{F}=\vec{0}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,2L-3x_{\mathrm{eq}}=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,x_{\mathrm{eq}}=\frac{2L}{3}

3 Celeridad máxima

La energía cinética K\, de la partícula depende de su celeridad v\, mediante la expresión:


K=\frac{1}{2}mv^2

Las fuerzas ejercidas sobre la partícula por los resortes son conservativas, y como tales permiten que se les asocie una función energía potencial (elástica) que es función de la posición x\, mediante la expresión:


U=\frac{1}{2}k x^2+\frac{1}{2}2k\,(L-x)^2=\frac{1}{2}k\,(3x^2-4Lx+2L^2)

Dado que sobre la partícula no trabaja ninguna fuerza no conservativa, sabemos que su energía mecánica E\, (suma de su energía cinética y su energía potencial) permanece constante durante el movimiento:


E=K+U=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}k\,(3x^2-4Lx+2L^2)=\mathrm{cte}

Por el enunciado conocemos las condiciones iniciales del movimiento (reposo en el punto medio entre O\, y A\,):


x(0)=\frac{L}{2}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\, v(0)=0

Así que la energía mecánica constante podemos evaluarla a partir de dichas condiciones iniciales:


E=E(0)=\frac{1}{2}m[v(0)]^2+\frac{1}{2}k\,\left\{3[x(0)]^2-4L[x(0)]+2L^2\right\}=\frac{1}{2}k\left[3\left(\frac{L}{2}\right)^2-4L\left(\frac{L}{2}\right)+2L^2\right]=\frac{3}{8}\,kL^2

Cuando la partícula alcance su celeridad máxima, también será máxima su energía cinética. Y teniendo en cuenta que la energía mecánica es constante, es obvio que la energía cinética máxima se alcanzará cuando la energía potencial sea mínima:


K_{\mathrm{max}}=E-U_{\mathrm{min}}\,

Pero sabemos que la energía potencial toma sus valores extremos (mínimos o máximos) en los puntos de equilibrio (en los cuales se anula la derivada primera de la función energía potencial respecto a su variable x\,). En el caso que nos ocupa, ya hemos calculado la única posición de equilibrio de la partícula, y analizando la derivada segunda de la función energía potencial respecto a x\, descubrimos que es positiva (su valor es constante e igual a 3k\,) y que, por tanto, el punto de equilibrio corresponde a un mínimo de energía potencial. Así que:


U_{\mathrm{min}}=U|_{x=x_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{2}k\left[3\left(\frac{2L}{3}\right)^2-4L\left(\frac{2L}{3}\right)+2L^2\right]=\frac{1}{3}\,kL^2

Y calculamos por fin la energía cinética máxima y la celeridad máxima:


K_{\mathrm{max}}=E\,-\,U_{\mathrm{min}}=\frac{3}{8}\,kL^2-\frac{1}{3}\,kL^2=\frac{1}{24}\,kL^2\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\frac{1}{2}mv_{\mathrm{max}}^2=\frac{1}{24}\,kL^2\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,v_{\mathrm{max}}^2=\frac{kL^2}{12\,m}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,v_{\mathrm{max}}=\sqrt{\frac{k}{3m}}\,\frac{L}{2}

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