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No Boletín - Partícula en varilla ranurada móvil (Ex.Ene/20)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta?)
(¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta?)
Línea 82: Línea 82:
Así pues, se deduce de estos tres teoremas que <math>K\,</math>, <math>E\,</math> o <math>\vec{L}_B\,</math> conservarían sus valores constantes durante el movimiento de la partícula si en todo instante <math>P\,</math>, <math>P_{\mathrm{NC}}\,</math> o <math>\overrightarrow{M}_B\,</math> fuesen nulas, respectivamente. Sin embargo, vamos a comprobar que ninguna de estas condiciones se cumple en el presente ejercicio.
Así pues, se deduce de estos tres teoremas que <math>K\,</math>, <math>E\,</math> o <math>\vec{L}_B\,</math> conservarían sus valores constantes durante el movimiento de la partícula si en todo instante <math>P\,</math>, <math>P_{\mathrm{NC}}\,</math> o <math>\overrightarrow{M}_B\,</math> fuesen nulas, respectivamente. Sin embargo, vamos a comprobar que ninguna de estas condiciones se cumple en el presente ejercicio.
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Tanto la fuerza elástica (conservativa) como la fuerza vincular (no conservativa) desarrollan potencia sobre la partícula, y por tanto su energía cinética no es constante:
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Tanto la fuerza elástica (conservativa) como la fuerza vincular (no conservativa) desarrollan potencia sobre la partícula. Por tanto, la energía cinética de la partícula no es constante:
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P=\underbrace{\vec{F}_k\cdot\vec{v}}_{P_{\mathrm{C}}\neq 0}\,+\,\underbrace{\vec{\Phi}\cdot\vec{v}}_{P_{\mathrm{NC}}\neq 0}\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,K\neq\mathrm{cte}  
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P=\underbrace{\vec{F}_k\cdot\vec{v}}_{P_{\mathrm{C}}}\,+\,\underbrace{\vec{\Phi}\cdot\vec{v}}_{P_{\mathrm{NC}}}\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,K\neq\mathrm{cte}  
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Tal como acabamos de ver, la fuerza vincular (no conservativa) desarrolla potencia sobre la partícula. Así que su energía mecánica tampoco es constante:
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Tal como acabamos de ver, la fuerza vincular desarrolla potencia no conservativa sobre la partícula. Por tanto, la energía mecánica de la partícula tampoco es constante:
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P_{\mathrm{NC}}=\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,E\neq\mathrm{cte}
P_{\mathrm{NC}}=\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,E\neq\mathrm{cte}
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Aunque la fuerza elástica es central en B, la fuerza vincular no lo es. Por tanto, el momento resultante de fuerzas respecto al punto B es distinto de cero, y por tanto su el momento cinético de la partícula respecto a dicho punto no es constante:
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Aunque la fuerza elástica es central en B, la fuerza vincular no lo es, y esto provoca que el momento resultante de fuerzas respecto al punto B sea distinto de cero. Por tanto, el momento cinético de la partícula respecto al punto B no es constante:
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\overrightarrow{M}_B=\underbrace{\overrightarrow{BP}\times\vec{F}_k}_{=\vec{0}}\,+\,\,\overrightarrow{BP}\times\vec{\Phi}\neq \vec{0}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{L}_B\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}
\overrightarrow{M}_B=\underbrace{\overrightarrow{BP}\times\vec{F}_k}_{=\vec{0}}\,+\,\,\overrightarrow{BP}\times\vec{\Phi}\neq \vec{0}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{L}_B\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}

Revisión de 19:24 15 feb 2020

1 Enunciado

La varilla OA\, , ranurada longitudinalmente y contenida en el plano horizontal OXY\,, rota alrededor del eje fijo OZ\, de tal modo que el ángulo que forma la misma con el eje OX\, viene dado en función del tiempo por la expresión \,\theta=\Omega\, t\, (donde \,\Omega\, es una constante conocida). Una partícula P\, de masa m\, se encuentra confinada en la ranura de la citada varilla, pudiendo deslizar sin rozamiento a lo largo de ella, y estando sometida a la acción de un resorte elástico (de constante k\, y longitud natural nula) con anclaje en el punto fijo B(b,0,0)\,. En la figura se definen las coordenadas polares \{\rho,\theta\}\, de la partícula P\, , así como la base ortonormal \{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\, asociada a las mismas. En lo que sigue, denominaremos \vec{v}\, y \vec{a}\, , respectivamente, a la velocidad y a la aceleración de la partícula P\, respecto al triedro fijo OXYZ\,.

Nota: Obsérvese que la varilla OA\, constituye un vínculo liso y reónomo sobre la partícula P\,.

  1. ¿Cuál de las siguientes condiciones ha de ser verificada en todo instante por la fuerza vincular \vec{\Phi}\, que ejerce la varilla OA\, sobre la partícula P\, ?
    \mathrm{(1)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\rho}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,\vec{\Phi}\times\vec{a}=\vec{0}
  2. Proyectando la segunda ley de Newton sobre la dirección radial \vec{u}_{\rho}\, , deduzca la ecuación diferencial que debe satisfacer la función \rho(t)\, que da la coordenada radial de la partícula P\, en cada instante.
  3. ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas conserva su valor constante durante el movimiento de la partícula?
    \mathrm{(1)}\,\,\,\mathrm{ninguna}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{las}\,\,\mathrm{otras}\,\,\mathrm{tres}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP}\,)/2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2

2 Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza vincular

El movimiento tiene lugar en un plano horizontal y, en consecuencia, no hay que considerar efecto gravitatorio. Sobre la partícula \,P\, actúan dos fuerzas: una de naturaleza activa (la fuerza elástica \,\vec{F}_k\, ejercida por el resorte) y otra de tipo vincular (la fuerza \,\vec{\Phi}\, ejercida por la varilla ranurada).

Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), la ranura de la varilla no tiene la capacidad de ejercer fuerzas tangenciales a su propia dirección. Por tanto, la fuerza vincular \vec{\Phi}\, es perpendicular a la dirección radial \vec{u}_{\rho}\, de la ranura en la que se encuentra confinada la partícula, debiendo satisfacer en todo instante la condición:


\mathrm{vinculo}\,\,\mathrm{liso}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\mathrm{vinculo}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\vec{u}_{\rho} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\,\cdot\,\vec{u}_{\rho}= 0

Así que la opción (3) es la respuesta correcta a la primera pregunta del ejercicio.

Las expresiones analíticas de las dos fuerzas en la base polar son las siguientes:


\left\{\begin{array}{l} \vec{F}_k=-\,k\,\overrightarrow{BP}=-\,k\,\{[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)]\,\vec{u}_{\rho}\,+\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\vec{u}_{\theta}\}= \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\theta} \end{array}\right.

La velocidad y la aceleración de la partícula expresadas en la base polar vienen dadas en general por:


\begin{array}{l} \,\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \\ \\
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{\, 2})\,\vec{u}_{\rho}+(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,)\,\vec{u}_{\theta} \end{array}

pero al particularizar, teniendo en cuenta la ecuación del vínculo:      \,\,\theta=\Omega\, t\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\Omega\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\ddot{\theta}=0\, ,     queda:    


\begin{array}{l} \,\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\Omega\,\rho\,\vec{u}_{\theta} \\ \\
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\Omega^2\rho)\,\vec{u}_{\rho}+2\,\Omega\,\dot{\rho}\,\vec{u}_{\theta} \end{array}

Planteamos la segunda ley de Newton:     \vec{F}_k+\vec{\Phi}=m\,\vec{a}     y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:


\left\{\begin{array}{l} -\,k\,[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)\,]=m(\,\ddot{\rho}-\Omega^2\rho\,)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\ 
-\,k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)+\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)
\end{array}\right.

La ecuación (1) nos proporciona la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función \,\rho(t):


\mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,m\,\ddot{\rho}+(k-m\,\Omega^2)\rho=k\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)

que constituye la respuesta a la segunda pregunta del ejercicio.

La fuerza vincular que ejerce la varilla ranurada sobre la partícula se obtiene despejando \,\Phi\,\, en la ecuación (2) y sustituyendo en la expresión vectorial de \,\vec{\Phi}\,:


\mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t) \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\Phi}=\left[\,2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\right] \,\vec{u}_{\theta}

Volviendo a la primera pregunta del ejercicio, cabe señalar que, una vez determinadas las expresiones de \,\vec{\Phi}\,, \,\vec{v}\, y \,\vec{a}\, en la base polar, resulta trivial comprobar analíticamente que las respuestas (1), (2) y (4) son falsas:


\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=\Phi\neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi \neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\times\vec{a}=\Phi\, (\Omega^2\rho-\ddot{\rho})\,\vec{k}\neq\vec{0}

Además, dado que las igualdades expresadas en las respuestas (1), (2) y (4) corresponden geométricamente a ciertas condiciones de ortogonalidad o paralelismo entre vectores, también es posible su descarte inspeccionando la figura que acompaña a la presente solución. En efecto, en dicha figura se observa que la fuerza vincular \vec{\Phi}\, no es perpendicular a la dirección acimutal \vec{u}_{\theta}\,, ni perpendicular a la velocidad \vec{v}\,, ni paralela a la aceleración \vec{a}\,. Nótese que, en coherencia con la segunda ley de Newton, la aceleración se ha representado en la citada figura con la misma dirección y sentido que la resultante de las fuerzas actuantes sobre la partícula.

3 ¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta?

Para responder la última pregunta del ejercicio, lo primero que hacemos es identificar las magnitudes físicas propuestas. Se trata de la energía cinética K\, en la opción (4), la energía mecánica E\, en la opción (2), y el momento cinético \vec{L}_B\, en la opción (3):


K=m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
E=K+\, U=(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP})/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{L}_B=\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}

El teorema de la energía cinética (T.E.C.), el teorema de la energía mecánica (T.E.M.) y el teorema del momento cinético (T.M.C.) proporcionan expresiones para las derivadas temporales de cada una de dichas magnitudes:


\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=P\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.C.)}\,\,;
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=P_{\mathrm{NC}}\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.M.)}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\frac{\mathrm{d}\vec{L}_B}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{M}_B\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.M.C.)}

donde P\, es la potencia instantánea desarrollada sobre la partícula, P_{\mathrm{NC}}\, es la potencia instantánea no conservativa desarrollada sobre la partícula, y \overrightarrow{M}_B\, es el momento resultante (respecto al punto B) de las fuerzas actuantes sobre la partícula.

Así pues, se deduce de estos tres teoremas que K\,, E\, o \vec{L}_B\, conservarían sus valores constantes durante el movimiento de la partícula si en todo instante P\,, P_{\mathrm{NC}}\, o \overrightarrow{M}_B\, fuesen nulas, respectivamente. Sin embargo, vamos a comprobar que ninguna de estas condiciones se cumple en el presente ejercicio.

Tanto la fuerza elástica (conservativa) como la fuerza vincular (no conservativa) desarrollan potencia sobre la partícula. Por tanto, la energía cinética de la partícula no es constante:


P=\underbrace{\vec{F}_k\cdot\vec{v}}_{P_{\mathrm{C}}}\,+\,\underbrace{\vec{\Phi}\cdot\vec{v}}_{P_{\mathrm{NC}}}\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,K\neq\mathrm{cte}

Tal como acabamos de ver, la fuerza vincular desarrolla potencia no conservativa sobre la partícula. Por tanto, la energía mecánica de la partícula tampoco es constante:


P_{\mathrm{NC}}=\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,E\neq\mathrm{cte}

Aunque la fuerza elástica es central en B, la fuerza vincular no lo es, y esto provoca que el momento resultante de fuerzas respecto al punto B sea distinto de cero. Por tanto, el momento cinético de la partícula respecto al punto B no es constante:


\overrightarrow{M}_B=\underbrace{\overrightarrow{BP}\times\vec{F}_k}_{=\vec{0}}\,+\,\,\overrightarrow{BP}\times\vec{\Phi}\neq \vec{0}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{L}_B\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}

Así, pues, llegamos a la conclusión de que ninguna de las tres magnitudes propuestas en la tercera pregunta del ejercicio se conserva constante durante el movimiento de la partícula, y por tanto la respuesta correcta es la opción (1): "ninguna de las otras tres".

La conservación de la energía cinética requeriría que no se realizase trabajo neto sobre la partícula. Y tal condición no se verifica en el presente caso, ya que tanto la fuerza elástica (conservativa) como la fuerza vincular (no conservativa) realizan trabajo sobre la partícula. Así pues, la potencia P\, desarrollada sobre la partícula (trabajo por unidad de tiempo) es distinta de cero:


P==\neq 0

Que la fuerza elástica trabaja es evidente porque la elongación del resorte va variando a lo largo del movimiento de la partícula (recuerde que el trabajo de una fuerza conservativa coincide con la variación de la energía potencial asociada cambiada de signo). Que también la fuerza vincular trabaja se deduce a partir del hecho de que la fuerza vincular y la velocidad de la partícula no son ortogonales, lo cual es característico de los vínculos lisos reónomos. Es la naturaleza móvil (reónoma) de los mismos la que provoca que la velocidad de la partícula tenga una componente de arrastre perpendicular al vínculo (cosa que no ocurre en los vínculos lisos esclerónomos).

Conforme al teorema de la energía cinética, si se desarrolla potencia P\, sobre la partícula (tal como hacen en el presente caso tanto la fuerza elástica como la fuerza vincular), la energía cinética K\, de la partícula no se conserva constante en el tiempo:


La conservación de la energía mecánica requeriría que no se realizase trabajo no conservativo sobre la partícula. Y ya hemos visto que tal condición no se verifica en el presente caso porque la fuerza vincular (no conservativa) realiza trabajo sobre la partícula. Así pues, sobre la partícula se desarrolla una potencia no conservativa P_{\mathrm{NC}}\, distinta de cero:


P_{\mathrm{NC}}(t)=\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi\neq 0

Conforme al teorema de la energía mecánica, si se desarrolla potencia no conservativa P_{\mathrm{NC}}\, sobre la partícula (tal como hace en el presente caso la fuerza vincular), la energía mecánica E\, de la partícula no se conserva constante en el tiempo:


\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=P_{\mathrm{NC}}\,\,\,\mathrm{(T.E.M.)}\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{Si}\,\,P_{\mathrm{NC}}\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,E\neq\mathrm{cte}

En lo que se refiere al momento cinético respecto a B, hay que tener en cuenta que su conservación en el tiempo requeriría que la fuerza resultante sobre la partícula fuese central con centro en B. Y tal condición no se verifica en el presente caso porque, aunque la fuerza elástica es central en B, la fuerza vincular no lo es. Por tanto, el momento resultante de fuerzas \overrightarrow{M}_B\, respecto al punto B es distinto de cero:


\overrightarrow{M}_B=\underbrace{\overrightarrow{BP}\times\vec{F}_k}_{=\vec{0}}\,+\,\,\overrightarrow{BP}\times\vec{\Phi}\neq \vec{0}

Conforme al teorema del momento cinético, si el momento resultante de las fuerzas actuantes sobre la partícula (respecto al punto fijo B) es distinto de cero (tal como ocurre en el presente caso debido al momento de la fuerza vincular), el momento cinético \vec{L}_B\, de la partícula no se conserva constante en el tiempo:


\frac{\mathrm{d}\vec{L}_B}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{M}_B\,\,\,\mathrm{(T.M.C.)}\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{Si}\,\,\overrightarrow{M}_B\neq \vec{0}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{L}_B\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}

Así, pues, llegamos a la conclusión de que ninguna de las tres magnitudes propuestas en la tercera pregunta del ejercicio se conserva constante durante el movimiento de la partícula, y por tanto la respuesta correcta es la opción (1): "ninguna de las otras tres".

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