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No Boletín - Partícula en varilla ranurada móvil (Ex.Ene/20)

De Laplace

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# Proyectando la segunda ley de Newton sobre la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> , deduzca la ecuación diferencial que debe satisfacer la función <math>\rho(t)\,</math> que da la coordenada radial de la partícula <math>P\,</math> en cada instante.
# Proyectando la segunda ley de Newton sobre la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> , deduzca la ecuación diferencial que debe satisfacer la función <math>\rho(t)\,</math> que da la coordenada radial de la partícula <math>P\,</math> en cada instante.
# ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas conserva su valor constante durante el movimiento de la partícula? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\mathrm{ninguna}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{las}\,\,\mathrm{otras}\,\,\mathrm{tres}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP}\,)/2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2</math></center>
# ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas conserva su valor constante durante el movimiento de la partícula? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\mathrm{ninguna}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{las}\,\,\mathrm{otras}\,\,\mathrm{tres}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP}\,)/2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2</math></center>
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==Solución==
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[[Categoría:Problemas de dinámica del punto material (G.I.T.I.)]]
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Revisión de 22:06 12 feb 2020

1 Enunciado

La varilla OA\, , ranurada longitudinalmente y contenida en el plano horizontal OXY\,, rota alrededor del eje fijo OZ\, de tal modo que el ángulo que forma la misma con el eje OX\, viene dado en función del tiempo por la expresión \,\theta=\Omega\, t\, (donde \,\Omega\, es una constante conocida). Una partícula P\, de masa m\, se encuentra confinada en la ranura de la citada varilla, pudiendo deslizar sin rozamiento a lo largo de ella, y estando sometida a la acción de un resorte elástico (de constante k\, y longitud natural nula) con anclaje en el punto fijo B(b,0,0)\,. En la figura se definen las coordenadas polares \{\rho,\theta\}\, de la partícula P\, , así como la base ortonormal \{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\, asociada a las mismas. En lo que sigue, denominaremos \vec{v}\, y \vec{a}\, , respectivamente, a la velocidad y a la aceleración de la partícula P\, respecto al triedro fijo OXYZ\,.

Nota: Obsérvese que la varilla OA\, constituye un vínculo liso y reónomo sobre la partícula P\,.

  1. ¿Cuál de las siguientes condiciones ha de ser verificada en todo instante por la fuerza vincular \vec{\Phi}\, que ejerce la varilla OA\, sobre la partícula P\, ?
    \mathrm{(1)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\rho}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,\vec{\Phi}\times\vec{a}=\vec{0}
  2. Proyectando la segunda ley de Newton sobre la dirección radial \vec{u}_{\rho}\, , deduzca la ecuación diferencial que debe satisfacer la función \rho(t)\, que da la coordenada radial de la partícula P\, en cada instante.
  3. ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas conserva su valor constante durante el movimiento de la partícula?
    \mathrm{(1)}\,\,\,\mathrm{ninguna}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{las}\,\,\mathrm{otras}\,\,\mathrm{tres}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP}\,)/2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2

2 Solución

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