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No Boletín - Ortogonalidad de dos vectores (Ex.Nov/12)

De Laplace

1 Enunciado

En un triedro cartesiano OXYZ (coordenado en unidades SI) se consideran los puntos A(1,2,1) y B(p,1,2). ¿Cuál es el valor de p si los vectores \overrightarrow{OA} y \overrightarrow{AB} son ortogonales?

2 Solución

Las coordenadas de un punto en un sistema de ejes cartesianos son las componentes de su vector de posición en la base ortonormal asociada, es decir:


A(1,2,1)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\overrightarrow{OA}=\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
B(\mathrm{p},1,2)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\overrightarrow{OB}=\mathrm{p}\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\,\vec{k}

Y, por otra parte:


\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(\mathrm{p}-1)\,\vec{\imath}-\,\vec{\jmath}+\vec{k}

Exigiendo la condición de ortogonalidad (producto escalar nulo) a los vectores \overrightarrow{OA}\, y \overrightarrow{AB}\,, deducimos el valor de p:


\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB}=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,[\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}+\vec{k}]\cdot[(\mathrm{p}-1)\,\vec{\imath}-\,\vec{\jmath}+\vec{k}]=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,(\mathrm{p}-1)-2+1=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{p}=2\,\mathrm{m}


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