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No Boletín - Identificación de lugar geométrico II (Ex.Oct/18)

De Laplace

1 Enunciado

Sea r\, la recta que pasa por el punto P_1\, y es paralela al vector \vec{u}\,, y sea P_2\, un punto que no pertenece a r\,. Responda a la siguiente pregunta aplicando la propiedad cancelativa del producto vectorial.

¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos P\, que satisfacen la ecuación \overrightarrow{P_1P}\times\vec{u}=\overrightarrow{P_1P_2}\times\vec{u}\,?

2 Solución

Aplicando la propiedad cancelativa del producto vectorial, se deduce que:


\overrightarrow{P_1P}\times\vec{u}=\overrightarrow{P_1P_2}\times\vec{u}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\overrightarrow{P_1P}=\overrightarrow{P_1P_2}+\lambda\,\vec{u}

y mediante una sencilla operación de resta:

\overrightarrow{P_1P}=\overrightarrow{P_1P_2}+\lambda\,\vec{u}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\left(\overrightarrow{P_1P}-\overrightarrow{P_1P_2}\right)=\lambda\,\vec{u}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\overrightarrow{P_2P}=\lambda\,\vec{u}

El paralelismo de los vectores \overrightarrow{P_2P}\, y \vec{u}\, (relacionados mediante el factor escalar paramétrico \lambda\,) implica que P\, se halla necesariamente en la recta paralela a \vec{u}\, que pasa por P_2\,.

Por tanto, el lugar geométrico de los puntos P\, que satisfacen la ecuación dada en la pregunta del enunciado es la recta paralela a la recta r\, que pasa por el punto P_2\, (nótese que r\, es paralela a \vec{u}\,).

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