No Boletín - Ejemplo de movimiento circular no uniforme (Ex.Sep/11)

Enunciado

Una partícula de masa $m$ describe un movimiento circular de radio $R$, tal que su velocidad angular instantánea cumple

$\omega =k\theta \,$

con $k$ una constante y $\theta$ el ángulo que el vector de posición instantánea forma con el eje OX.

1. Determine la aceleración angular de la partícula como función del ángulo $\theta$.
2. Halle las componentes intrínsecas de la aceleración lineal.

Aceleración angular

Hallamos la aceleración angular como la derivada respecto al tiempo de la velocidad angular

$\alpha ={\dot {\omega }}=k{\dot {\theta }}$

debemos escribir ${\dot {\theta }}$ como función del propio ángulo $\theta$, como nos pide el enunciado. Esto lo hacemos simplemente observando que la derivada temporal del ángulo girado no es otra que la velocidad angular

${\dot {\theta }}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=\omega =k\theta$

así que sustituyendo en la expresión de la aceleración angular, se obtiene la relación pedida

$\alpha =k^{2}\theta \,$

En forma vectorial, teniendo en cuenta que en un movimiento circular la aceleración angular es perpendicular al plano de giro

${\vec {\alpha }}=\alpha {\vec {k}}=k^{2}\theta {\vec {k}}$

Componentes intrínsecas de la aceleración

Tenemos dos componentes intrínsecas de la aceleración:

Aceleración tangencial

Puesto que el movimiento no es uniforme, existe una aceleración tangencial igual a la derivada temporal de la rapidez

$a_{t}={\frac {\mathrm {d} |{\vec {v}}|}{\mathrm {d} t}}$

siendo el módulo de la velocidad

$|{\vec {v}}|=\omega R=kR\theta$

Derivando respecto al tiempo

$a_{t}=kR{\dot {\theta }}=kR\omega =k^{2}R\theta$

Aceleración normal

El valor de la aceleración normal es

$a_{n}={\frac {|{\vec {v}}|^{2}}{R}}={\frac {(kR\theta )^{2}}{R}}=k^{2}R\theta ^{2}$