No Boletín - Ejemplo de campo de velocidades de un sólido II (Ex.Ene/20)

Enunciado

Sea un sólido rígido en movimiento respecto a un triedro cartesiano OXYZ. En cierto instante, el campo de velocidades del sólido tiene la siguiente expresión (unidades del SI):

${\vec {v}}=(2-y)\,{\vec {\imath }}+(1+x+z)\,{\vec {\jmath }}-y\,{\vec {k}}$

donde $(x,y,z)\,$ son las coordenadas cartesianas de cada punto del sólido.

1. Verifique la equiproyectividad del campo de velocidades.
2. ¿Cuál es la velocidad angular instantánea del sólido rígido?

Verificación de la equiproyectividad

Sean dos puntos arbitrarios $A\,(x_{A},y_{A},z_{A})\,\,$ y $\,B\,(x_{B},y_{B},z_{B})\,\,$. Sus velocidades ${\vec {v}}_{A}\,\,$ y $\,{\vec {v}}_{B}\,$ se obtienen sustituyendo sus respectivas coordenadas en la expresión del campo:

${\vec {v}}_{A}=(2\,-\,y_{A})\,{\vec {\imath }}\,+\,(1\,+\,x_{A}\,+\,z_{A})\,{\vec {\jmath }}\,-\,y_{A}\,{\vec {k}}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{B}=(2\,-\,y_{B})\,{\vec {\imath }}\,+\,(1\,+\,x_{B}\,+\,z_{B})\,{\vec {\jmath }}\,-\,y_{B}\,{\vec {k}}$

La equiproyectividad del campo de velocidades quedará verificada si se cumple la siguiente igualdad:

${\vec {v}}_{A}\cdot {\overrightarrow {AB}}={\vec {v}}_{B}\cdot {\overrightarrow {AB}}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,({\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A})\cdot {\overrightarrow {AB}}=0$

Comprobemos, pues, que es nulo el producto escalar de los siguientes vectores:

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {AB}}=\underbrace {(x_{B}-x_{A})} _{\displaystyle =\Delta x}\,{\vec {\imath }}\,+\underbrace {(y_{B}-y_{A})} _{\displaystyle =\Delta y}\,{\vec {\jmath }}\,+\underbrace {(z_{B}-z_{A})} _{\displaystyle =\Delta z}\,{\vec {k}}=\Delta x\,{\vec {\imath }}\,+\Delta y\,{\vec {\jmath }}\,+\Delta z\,{\vec {k}}\\\\{\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A}=-\Delta y\,\,{\vec {\imath }}\,+(\Delta x+\Delta z)\,{\vec {\jmath }}\,-\Delta y\,{\vec {k}}\end{array}}$

En efecto, se verifica la equiproyectividad porque:

$({\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A})\cdot {\overrightarrow {AB}}=-\Delta y\,\Delta x\,+(\Delta x+\Delta z)\,\Delta y\,-\Delta y\,\Delta z=0$

Velocidad angular

Obtendremos la velocidad angular instantánea ${\vec {\omega }}=\omega _{x}\,{\vec {\imath }}+\omega _{y}\,{\vec {\jmath }}+\omega _{z}\,{\vec {k}}\,$ exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades de un sólido rígido:

${\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}\,\,\Rightarrow \,\,{\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A}={\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}\,\,\Rightarrow \,\,-\Delta y\,{\vec {\imath }}+(\Delta x+\Delta z)\,{\vec {\jmath }}-\Delta y\,{\vec {k}}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\\omega _{x}&\omega _{y}&\omega _{z}\\\Delta x&\Delta y&\Delta z\end{array}}\right|$

Calculando el determinante e igualando componente a componente, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

$\left\{{\begin{array}{rcl}-\Delta y&=&\omega _{y}\,\Delta z-\omega _{z}\,\Delta y\\\Delta x+\Delta z&=&\omega _{z}\,\Delta x-\omega _{x}\,\Delta z\\-\Delta y&=&\omega _{x}\,\Delta y-\omega _{y}\,\Delta x\end{array}}\right.\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\left\{{\begin{array}{rcl}(-1+\omega _{z})\,\Delta y-\omega _{y}\,\Delta z&=&0\\(1-\omega _{z})\,\Delta x+(1+\omega _{x})\,\Delta z&=&0\\\omega _{y}\,\Delta x-(1+\omega _{x})\,\Delta y&=&0\end{array}}\right.$

Dado que este sistema de ecuaciones debe verificarse para todo valor de $\Delta x\,$, $\Delta y\,\,$ y $\,\Delta z\,$ (ya que los puntos $A\,\,$ y $\,B\,$ son cualesquiera), es necesario que los coeficientes de $\Delta x\,$, $\Delta y\,\,$ y $\,\Delta z\,$ en estas ecuaciones sean todos nulos, llegándose a la conclusión de que:

$\left.{\begin{array}{l}\omega _{x}=-1\\\omega _{y}=0\\\omega _{z}=1\end{array}}\right\}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {\omega }}=(-\,{\vec {\imath }}+{\vec {k}}\,)\,\,\mathrm {rad/s}$