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No Boletín - Ejemplo de campo de velocidades de un sólido II (Ex.Ene/20)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Página creada con '==Enunciado== Sea un sólido rígido en movimiento respecto a un triedro cartesiano OXYZ. En cierto instante, el campo de velocidades del sólido tiene la siguiente expresión (…')
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# Verifique la equiproyectividad del campo de velocidades.
# Verifique la equiproyectividad del campo de velocidades.
# ¿Cuál es la velocidad angular instantánea del sólido rígido?
# ¿Cuál es la velocidad angular instantánea del sólido rígido?
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==Verificación de la equiproyectividad==
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Sean dos puntos arbitrarios <math>A(x_A,y_A,z_A)\,\,</math> y <math>\,B(x_B,y_B,z_B)\,\,</math>. Sus velocidades <math>\vec{v}_A\,\,</math> y <math>\,\vec{v}_B\,</math> se obtienen sustituyendo sus coordenadas sus coordenadas en la expresión del campo respectivamente:
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\vec{v}_A=(2-y_A)\,\vec{\imath}+(1+x_A+z_A)\,\vec{\jmath}-y_A\,\vec{k}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,
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\vec{v}_B=(2-y_B)\,\vec{\imath}+(1+x_B+z_B)\,\vec{\jmath}-y_B\,\vec{k}
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La equiproyectividad del campo de velocidades quedará verificada si se cumple la siguiente igualdad:
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\vec{v}_A\,\cdot\,\overrightarrow{AB}=\vec{v}_B\,\cdot\,\overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,(\,\vec{v}_B-\vec{v}_A\,)\,\cdot\,\overrightarrow{AB}=0
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Comprobemos, pues, que es nulo el producto escalar de los siguientes vectores:
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\overrightarrow{AB}=\underbrace{(x_B-x_A)}_{=\Delta x}\,\vec{\imath}+\underbrace{(y_B-y_A)}_{=\Delta y}\,\vec{\jmath}+\underbrace{(z_B-z_A)}_{=\Delta z}\,\vec{k}=\Delta x\,\vec{\imath}+\Delta y\,\vec{\jmath}+\Delta z\,\vec{k} \\ \\
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\vec{v}_B-\vec{v}_A=-\Delta y\,\vec{\imath}+(\Delta x+\Delta z)\,\vec{\jmath}-\Delta y\,\vec{k}
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En efecto:
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\vec{v}_B-\vec{v}_A\,\cdot\,\overrightarrow{AB}=-\Delta y\,\Delta x+(\Delta x+\Delta z)\,\Delta y-\Delta y\,\Delta z=0
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==Velocidad angular==
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Obtendremos la velocidad angular instantánea <math>\vec{\omega}=\omega_x\,\vec{\imath}+\omega_y\,\vec{\jmath}+\omega_z\,\vec{k}\,</math> exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades de un sólido rígido:
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\vec{v}_B=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{v}_B-\vec{v}_A\=\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,-\Delta y\,\vec{\imath}+(\Delta x+\Delta z)\,\vec{\jmath}-\Delta y\,\vec{k}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ \\ \Delta x & \delta y & \Delta z \end{array}\right|
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Calculando el determinante e igualando componente a componente, se obtiene el sistema de ecuaciones:
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\left\{\begin{array}{l}
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-\Delta y=\omega_y\,\Delta z-\omega_z\,\delta y \\
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\Delta x+\Delta z=\omega_z\,\Delta x-\omega_x\,\Delta z \\
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-\Delta y=\omega_x\,\Delta y-\omega_y\,\Delta x
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\end{array}\right.\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,
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\left\{\begin{array}{l}
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(-1+\omega_z)\,\Delta y-\omega_y\,\Delta z=0 \\
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(1-\omega_z)\,\Delta x+(1+\omega_x)\,\Delta z=0 \\
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\omega_y\,\Delta x-(1+\omega_x)\,\Delta y=0
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Dado que este sistema de ecuaciones ha de verificarse para todo <math>\Delta x\,</math> , <math>\Delta y\,\,</math> y <math>\,\Delta z\,</math> (los puntos <math>A\,\,</math> y <math>\,B\,</math> son cualesquiera), es necesario que los coeficientes de <math>\Delta x\,</math> , <math>\Delta y\,\,</math> y <math>\,\Delta z\,</math> en estas ecuaciones sean todos nulos, llegándose a la conclusión de que:
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\left.\begin{array}{l} \omega_x=-1 \\ \\ \omega_y=0 \\ \\ \omega_z=1 \end{array}\right\}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{\omega}=(\,-\vec{\imath}+\vec{k}\,\,)\,\,\mathrm{rad/s}
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[[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido (G.I.T.I.)]]

Revisión de 11:27 11 feb 2020

1 Enunciado

Sea un sólido rígido en movimiento respecto a un triedro cartesiano OXYZ. En cierto instante, el campo de velocidades del sólido tiene la siguiente expresión (unidades del SI):


\vec{v}=(2-y)\,\vec{\imath}+(1+x+z)\,\vec{\jmath}-y\,\vec{k}

donde (x,y,z)\, son las coordenadas cartesianas de cada punto del sólido.

  1. Verifique la equiproyectividad del campo de velocidades.
  2. ¿Cuál es la velocidad angular instantánea del sólido rígido?

2 Verificación de la equiproyectividad

Sean dos puntos arbitrarios A(x_A,y_A,z_A)\,\, y \,B(x_B,y_B,z_B)\,\,. Sus velocidades \vec{v}_A\,\, y \,\vec{v}_B\, se obtienen sustituyendo sus coordenadas sus coordenadas en la expresión del campo respectivamente:


\vec{v}_A=(2-y_A)\,\vec{\imath}+(1+x_A+z_A)\,\vec{\jmath}-y_A\,\vec{k}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{v}_B=(2-y_B)\,\vec{\imath}+(1+x_B+z_B)\,\vec{\jmath}-y_B\,\vec{k}

La equiproyectividad del campo de velocidades quedará verificada si se cumple la siguiente igualdad:


\vec{v}_A\,\cdot\,\overrightarrow{AB}=\vec{v}_B\,\cdot\,\overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,(\,\vec{v}_B-\vec{v}_A\,)\,\cdot\,\overrightarrow{AB}=0

Comprobemos, pues, que es nulo el producto escalar de los siguientes vectores:


\begin{array}{l}
\overrightarrow{AB}=\underbrace{(x_B-x_A)}_{=\Delta x}\,\vec{\imath}+\underbrace{(y_B-y_A)}_{=\Delta y}\,\vec{\jmath}+\underbrace{(z_B-z_A)}_{=\Delta z}\,\vec{k}=\Delta x\,\vec{\imath}+\Delta y\,\vec{\jmath}+\Delta z\,\vec{k} \\ \\
\vec{v}_B-\vec{v}_A=-\Delta y\,\vec{\imath}+(\Delta x+\Delta z)\,\vec{\jmath}-\Delta y\,\vec{k}
\end{array}

En efecto:


\vec{v}_B-\vec{v}_A\,\cdot\,\overrightarrow{AB}=-\Delta y\,\Delta x+(\Delta x+\Delta z)\,\Delta y-\Delta y\,\Delta z=0

3 Velocidad angular

Obtendremos la velocidad angular instantánea \vec{\omega}=\omega_x\,\vec{\imath}+\omega_y\,\vec{\jmath}+\omega_z\,\vec{k}\, exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades de un sólido rígido:

No se pudo entender (error léxico): \vec{v}_B=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{v}_B-\vec{v}_A\=\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,-\Delta y\,\vec{\imath}+(\Delta x+\Delta z)\,\vec{\jmath}-\Delta y\,\vec{k}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ \\ \Delta x & \delta y & \Delta z \end{array}\right|

Calculando el determinante e igualando componente a componente, se obtiene el sistema de ecuaciones:


\left\{\begin{array}{l}
-\Delta y=\omega_y\,\Delta z-\omega_z\,\delta y \\
\Delta x+\Delta z=\omega_z\,\Delta x-\omega_x\,\Delta z \\
-\Delta y=\omega_x\,\Delta y-\omega_y\,\Delta x
\end{array}\right.\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,
\left\{\begin{array}{l}
(-1+\omega_z)\,\Delta y-\omega_y\,\Delta z=0 \\
(1-\omega_z)\,\Delta x+(1+\omega_x)\,\Delta z=0 \\
\omega_y\,\Delta x-(1+\omega_x)\,\Delta y=0
\end{array}\right.

Dado que este sistema de ecuaciones ha de verificarse para todo \Delta x\, , \Delta y\,\, y \,\Delta z\, (los puntos A\,\, y \,B\, son cualesquiera), es necesario que los coeficientes de \Delta x\, , \Delta y\,\, y \,\Delta z\, en estas ecuaciones sean todos nulos, llegándose a la conclusión de que:


\left.\begin{array}{l} \omega_x=-1 \\ \\ \omega_y=0 \\ \\ \omega_z=1 \end{array}\right\}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{\omega}=(\,-\vec{\imath}+\vec{k}\,\,)\,\,\mathrm{rad/s}

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