No Boletín - Eje con un disco por encima y otro por debajo (Ex.Ene/13)

Enunciado

Los sólidos "2" y "0" son dos discos de radio $R\,$ vinculados entre sí al hallarse sus centros articulados, respectivamente, a los dos extremos de la varilla rígida $AB\,$ (sólido "3"). Ambos discos están rodando sin deslizar sobre un eje horizontal (sólido "1") simultánea y permanentemente, aunque -tal como muestra la figura- el disco "2" lo está haciendo por encima del eje, mientras que el disco "0" lo está haciendo por debajo del mismo.

1. ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación $I_{20}\,$?
2. ¿Qué tipo de movimiento es el {31}?

Solución

El disco "2" se halla articulado en su centro al extremo $A\,$ de la varilla "3". Por tanto, dicho punto $A\,$ es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {23}:

$I_{23}\equiv A$

El disco "0" se halla articulado en su centro al extremo $B\,$ de la varilla "3". Por tanto, dicho punto $B\,$ es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {03}:

$I_{03}\equiv B$

El disco "2" rueda sin deslizar por la parte superior del eje horizontal "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y el eje:

$I_{21}\equiv D$

El disco "0" rueda sin deslizar por la parte inferior del eje horizontal "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {01} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y el eje:

$I_{01}\equiv E$

Aplicando dos veces el teorema de los tres centros (una vez para la terna de sólidos "2"-"0"-"1", y otra vez para la terna "2"-"0"-"3"), llegamos a la conclusión de que el centro instantáneo de rotación del movimiento {20} se halla en la intersección de las rectas ${\overline {I_{21}I_{01}}}\,$ y ${\overline {I_{23}I_{03}}}\,$, es decir, coincide con el punto $C\,$ de la figura del enunciado:

$I_{20}\equiv {\overline {I_{21}I_{01}}}\cap {\overline {I_{23}I_{03}}}\equiv {\overline {DE}}\cap {\overline {AB}}\equiv C$

Aplicando dos veces el teorema de los tres centros (una vez para la terna de sólidos "2"-"3"-"1", y otra vez para la terna "0"-"3"-"1"), llegamos a la conclusión de que el centro instantáneo de rotación del movimiento {31} se halla en la intersección de las rectas ${\overline {I_{21}I_{23}}}\,$ y ${\overline {I_{01}I_{03}}}\,$. Y como estas dos rectas son paralelas verticales, quiere eso decir que el CIR{31} se halla en el infinito en dirección vertical:

$I_{31}\equiv {\overline {I_{21}I_{23}}}\cap {\overline {I_{01}I_{03}}}\equiv {\overline {DA}}\cap {\overline {EB}}\longrightarrow \infty \,\,\mathrm {vertical}$

Lo cual nos está indicando que el movimiento {31} es una traslación horizontal.