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No Boletín - Dos varillas con extremo común (Ex.Sep/14)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Dos varillas rígidas idénticas, de longitud L\,, de extremo común A\,, y que denominaremos sólidos "2" y "0", se hallan contenidas en todo instante en los planos OXZ\, y OYZ\,, respectivamente (ver figura). El sistema se mueve de forma que el extremo común A\, recorre el eje OZ\,, el extremo B\, de la varilla "2" recorre el eje OX\,, y el extremo C\, de la varilla "0" recorre el eje OY\,. Se sabe además que el ángulo que forma cada una de las varillas con el eje OZ\, (según se define en la figura) obedece la ley horaria \theta(t)=\omega t\, (donde \omega\, es una constante positiva conocida).

Considerando como movimiento-problema el movimiento relativo de una varilla respecto a la otra (movimiento \{20\}\,), se pide:

  1. Velocidad angular \vec{\omega}_{20}\, y aceleración angular \vec{\alpha}_{20}\,.
  2. Velocidad instantánea \vec{v}^{\, O}_{20}\, y aceleración instantánea \vec{a}^{\, O}_{20}\,.
  3. Eje instantáneo de rotación del movimiento \{20\}\,.

2 Velocidad angular y aceleración angular del movimiento {20}

De la lectura del enunciado y la inspección de la figura, se deducen las velocidades angulares \vec{\omega}_{21}\, y \vec{\omega}_{01}\, en cualquier instante de tiempo, y a partir de éstas se determinan por definición las correspondientes aceleraciones angulares \vec{\alpha}_{21}\, y \vec{\alpha}_{01}\,:


\vec{\omega}_{21}(t)=-\,\dot{\theta}\,\vec{\jmath}=-\,\omega\,\vec{\jmath}
\,\,\,\,\,\rightarrow\,\,\,\,\,\vec{\alpha}_{21}=
\left.\frac{\mathrm{d}\,\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}\,t}\right|_1=\vec{0}
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\omega}_{01}(t)=\dot{\theta}\,\vec{\imath}=\omega\,\vec{\imath}
\,\,\,\,\,\rightarrow\,\,\,\,\,\vec{\alpha}_{01}=
\left.\frac{\mathrm{d}\,\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}\,t}\right|_1=\vec{0}

Aplicando entonces las leyes de composición, se determinan \vec{\omega}_{20}\, y \vec{\alpha}_{20}\,:


\begin{array}{rcl}
\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01} & \,\,\,\,\,\rightarrow\,\,\,\,\, &
\vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}=
-\,\omega\,(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,\,\,) \\ \\
\vec{\alpha}_{21}=\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
& \,\,\,\,\,\rightarrow\,\,\,\,\, &
\vec{\alpha}_{20}=\underbrace{\vec{\alpha}_{21}}_{=
\vec{0}}-\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{=
\vec{0}}-\,\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=
\omega^2\,\vec{k}\end{array}

3 Velocidad y aceleración instantáneas del punto O en el movimiento {20}

El extremo común A\, de las dos varillas es obviamente un punto fijo en el movimiento \{20\}\, y, por tanto:


\vec{v}^{A}_{20}(t)=\vec{0}\,\,\,\,\,\rightarrow\,\,\,\,\,\vec{a}^{A}_{20}=
\left.\frac{\mathrm{d}\,\vec{v}^{A}_{20}}{\mathrm{d}\,t}\right|_0=\vec{0}

Nos vamos a apoyar en dicho punto A\, para calcular \vec{v}^{\, O}_{20}\, y \vec{a}^{\, O}_{20}\,. Utilizando las ecuaciones del campo de velocidades y del campo de aceleraciones del movimiento \{20\}\,, y teniendo en cuenta que \overrightarrow{AO}=-L\,\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{k}\,, se tiene que:


\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, O}_{20}=\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{20}}_{=\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AO}=
\omega L\,\mathrm{cos}(\omega t)(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\,) \\ \\
\vec{a}^{\, O}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{A}_{20}}_{=\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{AO}}_{=
\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AO})=2\,\omega^2 L\,\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{k}
\end{array}

4 Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}

El eje instantáneo de rotación del movimiento \{20\}\, (en adelante, \mathrm{EIR}\{20\}\,) es la recta paralela al vector \vec{\omega}_{20}\, que pasa por el punto A\, (ya que sabemos que \vec{v}^{A}_{20}=\vec{0}\,). Por tanto, las ecuaciones del \mathrm{EIR}\{20\}\, son:


\frac{x}{-\,\omega}=\frac{y}{-\,\omega}=\frac{z-L\,\mathrm{cos}(\omega t)}{0}
\,\,\,\,\,\rightarrow\,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} y=x \\ z=L\,\mathrm{cos}(\omega t)
\end{array}\right.

La misma recta se obtiene a partir de la ecuación vectorial del \mathrm{EIR}\{20\}\,:


\forall I\in\mathrm{EIR}\{20\}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,
\overrightarrow{OI}=\frac{\vec{\omega}_{20}\times\vec{v}^{\, O}_{20}}{|\vec{\omega}_{20}|^2}+\lambda\,\vec{\omega}_{20}

sustituyendo los valores previamente obtenidos de \vec{\omega}_{20}\, y \vec{v}^{\, O}_{20}\,:


\forall I\in\mathrm{EIR}\{20\}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\overrightarrow{OI}=L\,\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{k}-\lambda\,\omega\,(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)

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