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Enunciado

Mediante un par de revolución, el plano (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante , de forma que el eje permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro y radio , contenido en todo instante en el plano , rueda sin deslizar sobre el eje vertical , moviéndose su centro con velocidad relativa (donde es una constante positiva). Sea la base ortonormal asociada al triedro . Las cuestiones planteadas a continuación se refieren al instante representado en la figura, siendo el punto de contacto entre el disco y el eje , y siendo el punto del disco diametralmente opuesto al punto .

  1. ¿Dónde se halla el eje instantáneo de rotación del movimiento ?
  2. ¿Cuánto vale la velocidad ?
  3. ¿Cuánto vale la aceleración ?

Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}

Conocemos las velocidades de dos puntos en el movimiento {20}: la del centro del disco (dato del enunciado) y la del punto de contacto entre el disco y el eje (nula por no existir deslizamiento entre el disco y el eje ). Relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades {20}, podemos deducir el valor de la velocidad angular (nótese que la dirección propuesta para es la única compatible con que el disco permanezca contenido en todo instante en el plano ):

Obsérvese que el valor obtenido para la velocidad angular {20} tiene validez permanente en el tiempo, ya que en todo instante puede repetirse la deducción de este mismo valor relacionando la velocidad del centro del disco (conocida con carácter permanente) y la velocidad del punto de contacto disco-eje de ese instante.

Como respuesta a la primera cuestión que plantea el problema, podemos afirmar que el eje instantáneo de rotación del movimiento pasa por el punto (cuya velocidad {20} es nula) y es paralelo al eje (dirección de la velocidad angular {20}).

Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}

Los datos contenidos en el enunciado, junto a los resultados obtenidos en el apartado anterior, nos permiten expresar en la base vectorial las reducciones cinemáticas del movimiento {01} (en el punto ) y del movimiento {20} (en el punto ), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:

donde se ha tenido en cuenta que el punto pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01} (eje ), es decir, que se trata de un punto fijo en dicho movimiento (velocidad permanentemente nula).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos {01} y {20} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:

Velocidad instantánea {21} del punto B

Para determinar la velocidad , calculamos primero las velocidades y utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:

y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto :

Aceleración instantánea {21} del punto B

Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración se calcula así:

Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):

la aceleración (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):

y el término de Coriolis (mediante su fórmula):

Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración :