Ver el código de «No Boletín - Detección de identidad falsa (Ex.Jun/13)»

==Enunciado==
Sean tres sólidos rígidos ("0", "1" y "2") en movimiento relativo. ¿Cuál de las siguientes identidades es falsa?

1) <math>\vec{v}_{21}^{\, P}=\vec{v}_{20}^{\, P}+\vec{v}_{01}^{\, Q}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{QP}</math>

2) <math>\vec{a}_{21}^{\, P}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{v}_{20}^{\, P}}{dt}\right|_0+\left.\frac{d\vec{v}_{01}^{\, P}}{dt}\right|_1+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^{\, P}</math>

3) <math>\vec{\alpha}_{21}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{\omega}_{20}}{dt}\right|_0+\left.\frac{d\vec{\omega}_{01}}{dt}\right|_1+
\vec{\omega}_{20}\times\vec{\omega}_{01}</math>

4) <math>\vec{\omega}_{01}\cdot\vec{\alpha}_{21}=\vec{\omega}_{01}\cdot(\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01})</math>

==Identidad 1: Correcta==
La identidad 1 se obtiene de sustituir la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01} (aplicada a los puntos <math>P\,</math> y <math>Q\,</math>):
<center><math>
\vec{v}_{01}^{\, P}=\vec{v}_{01}^{\, Q}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{QP}
</math></center>
en la ley de composición de velocidades (aplicada en el punto <math>P\,</math>):
<center><math>
\vec{v}_{21}^{\, P}=\vec{v}_{20}^{\, P}+\vec{v}_{01}^{\, P}=\vec{v}_{20}^{\, P}+\vec{v}_{01}^{\, Q}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{QP}
</math></center>
Por tanto, la identidad 1 es correcta.

==Identidad 2: Correcta==
La identidad 2 se obtiene de sustituir las definiciones de <math>\vec{a}_{20}^{\, P}\,</math> y <math>\vec{a}_{01}^{\, P}\,</math>:
<center><math>
\vec{a}_{20}^{\, P}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{v}_{20}^{\, P}}{dt}\right|_0\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}_{01}^{\, P}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{v}_{01}^{\, P}}{dt}\right|_1
</math></center>
en la ley de composición de aceleraciones o teorema de Coriolis (aplicada en el punto <math>P\,</math>):
<center><math>
\vec{a}_{21}^{\, P}=\vec{a}_{20}^{\, P}+\vec{a}_{01}^{\, P}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^{\, P}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{v}_{20}^{\, P}}{dt}\right|_0+\left.\frac{d\vec{v}_{01}^{\, P}}{dt}\right|_1+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^{\, P}
</math></center>
Por tanto, la identidad 2 es correcta.

==Identidad 3: Falsa==
Si se sustituyen las definiciones de <math>\vec{\alpha}_{20}\,</math> y <math>\vec{\alpha}_{01}\,</math>:
<center><math>
\vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{\omega}_{20}}{dt}\right|_0\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{\omega}_{01}}{dt}\right|_1
</math></center>
en la ley de composición de aceleraciones angulares:
<center><math>
\vec{\alpha}_{21}=\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
</math></center>
se obtiene la identidad:
<center><math>
\vec{\alpha}_{21}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{\omega}_{20}}{dt}\right|_0+\left.\frac{d\vec{\omega}_{01}}{dt}\right|_1+
\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
</math></center>
Pero observamos que la identidad 3 difiere de ésta en el último sumando, cuyo producto vectorial aparece permutado (lo cual equivale a un cambio de signo).

Por tanto, la identidad 3 es la falsa.

==Identidad 4: Correcta==
La identidad 4 se obtiene realizando el producto escalar de la ley de composición de aceleraciones angulares por el vector <math>\vec{\omega}_{01}\,</math>, operación que provoca la desaparición del último término debido a la ortogonalidad entre los vectores <math>\vec{\omega}_{01}</math> y <math>\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}\,</math>:
<center><math>
\vec{\alpha}_{21}=\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}\,\,\,\rightarrow\,\,\,
\vec{\omega}_{01}\cdot\,\vec{\alpha}_{21}=\vec{\omega}_{01}\cdot\,(\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01})+\vec{\omega}_{01}\cdot\,(\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20})=\vec{\omega}_{01}\cdot\,(\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01})
</math></center>
Por tanto, la identidad 4 es correcta.

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