No Boletín - Cuestión sobre cálculo gráfico del C.I.R. (Ex.Sep/15)

Enunciado

Sea $OXY\,$ el plano director en el movimiento plano de cierto sólido rígido. En el diagrama adjunto se representan las posiciones y velocidades de dos puntos ($A\,$ y $B\,$) de dicho sólido en un instante dado. La cuadrícula del diagrama es tal que cada celdilla corresponde a la unidad en el SI (Sistema Internacional) de la magnitud representada.

1. Determine el vector de posición del centro instantáneo de rotación $I.\,$
2. Calcule la velocidad instantánea del punto del sólido rígido que se halla en $O\,$

Solución gráfica

Trazando sendas perpendiculares a las velocidades $\,{\vec {v}}_{A}\,$ y $\,{\vec {v}}_{B}\,$ en sus respectivos puntos, hallamos el centro instantáneo de rotación $\,I\,$ en la intersección de ambas rectas (discontinuas de color rojo):

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {v}}_{A}\perp {\overrightarrow {IA}}\\\\{\vec {v}}_{B}\perp {\overrightarrow {IB}}\end{array}}\right\}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,I\,\equiv \,\left\{{\begin{array}{c}\mathrm {recta} \perp {\vec {v}}_{A}\\\mathrm {que} \,\,\mathrm {pasa} \,\,\mathrm {por} \,\,A\end{array}}\right\}\,\,\bigcap \,\,\left\{{\begin{array}{c}\mathrm {recta} \perp {\vec {v}}_{B}\\\mathrm {que} \,\,\mathrm {pasa} \,\,\mathrm {por} \,\,B\end{array}}\right\}$

La posición de $\,I\,$ obtenida en el diagrama por este procedimiento gráfico viene dada por el vector:

${\overrightarrow {OI}}=2\,{\vec {\jmath }}\,\,\,\mathrm {m}$

Determinemos ahora gráficamente la velocidad $\,{\vec {v}}_{O}.\,$ Trazamos primero la recta-soporte de $\,{\vec {v}}_{O}\,$, que es la perpendicular por $\,O\,$ al vector $\,{\overrightarrow {IO}}\,$ (ya que necesariamente ${\vec {v}}_{O}\perp {\overrightarrow {IO}}$). Observamos entonces que la recta-soporte de $\,{\vec {v}}_{O}\,$ coincide con el eje $\,OX\,$, y por tanto van a ser paralelas las velocidades $\,{\vec {v}}_{O}\,$ y $\,{\vec {v}}_{A}\,$. Sabido que $\,{\vec {v}}_{O}\parallel {\vec {v}}_{A}\,$, localizamos el extremo de $\,{\vec {v}}_{O}\,$ en la intersección de su recta-soporte (eje $\,OX$) con la recta que pasa por el extremo de $\,{\vec {v}}_{A}\,$ y por el punto $\,I\,$ (discontinua de color azul).

La velocidad $\,{\vec {v}}_{O}\,$ obtenida en el diagrama por este procedimiento gráfico viene dada por el vector:

${\vec {v}}_{O}=2\,{\vec {\imath }}\,\,\,\mathrm {m} \mathrm {/s}$

Solución analítica

El examen del diagrama nos permite conocer las velocidades de dos puntos del sólido rígido en el plano director:

$A(0,4)\,\mathrm {m} \,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,{\vec {v}}_{A}=-\,2\,{\vec {\imath }}\,\,\,\mathrm {m/s} \,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,B(4,0)\,\mathrm {m} \,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,{\vec {v}}_{B}=(\,2\,{\vec {\imath }}+4\,{\vec {\jmath }}\,\,)\,\,\mathrm {m/s}$

La velocidad angular del sólido en movimiento plano es necesariamente perpendicular al plano director: $\,{\vec {\omega }}=\omega \,{\vec {k}},\,$ y su valor lo determinaremos al exigir que $\,{\vec {v}}_{A}\,$ y $\,{\vec {v}}_{B}\,$ satisfagan la ecuación del campo de velocidades:

$\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}\,+\,\,{\vec {\omega }}\,\,\times \,{\overrightarrow {AB}}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,(\,2\,{\vec {\imath }}\,+\,4\,{\vec {\jmath }}\,\,)=(-\,2\,{\vec {\imath }}\,\,)\,+\,\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\0&0&\omega \\4&-4&0\end{array}}\right|\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\left.{\begin{array}{l}2=-2+4\,\omega \\4=4\,\omega \end{array}}\right\}\,\,\,\,\,\Longrightarrow$

$\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\omega =1\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {\omega }}={\vec {k}}\,\,\mathrm {rad} /\mathrm {s}$

Ahora ya podemos calcular la velocidad del punto $\,O\,$ del sólido aplicando nuevamente la ecuación del campo de velocidades:

${\vec {v}}_{O}={\vec {v}}_{A}\,+\,\,{\vec {\omega }}\,\,\times {\overrightarrow {AO}}=(-\,2\,{\vec {\imath }}\,\,)\,+\,\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\0&0&1\\0&-4&0\end{array}}\right|=2\,{\vec {\imath }}\,\,\,\mathrm {m} \mathrm {/s}$

Y, por último, determinamos analíticamente la posición del centro instantáneo de rotación $\,I\,$ mediante la fórmula estudiada en la teoría:

${\overrightarrow {OI}}={\frac {{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{O}}{|\,{\vec {\omega }}\,|^{\,2}}}={\frac {{\vec {k}}\times 2\,{\vec {\imath }}}{1^{2}}}=2\,{\vec {\jmath }}\,\,\,\mathrm {m}$