Ver el código de «No Boletín - Celeridad media de un vehículo (Ex.Ene/12)»

==Enunciado==
Un automóvil recorre cierto trayecto del siguiente modo: la mitad de su longitud con celeridad constante de 120 km/h, y la otra mitad con celeridad constante de 60 km/h. ¿Cuál ha sido su celeridad media en el recorrido total?

==Solución==
Si llamamos <math>L\,</math> a la longitud total del trayecto, y <math>t\,</math> al tiempo total empleado por el automóvil en recorrerlo, la celeridad media en el recorrido total es el cociente:

<center><math>\left\langle v\right\rangle = \frac{L}{t}</math></center>

Pero sabemos que la primera mitad de esa longitud se ha recorrido con una celeridad constante de <math>v_1\,</math> = 120 km/h. ¿Qué tiempo <math>t_1</math> habrá invertido el automóvil en recorrer esa primera mitad? La respuesta es inmediata dado que sabemos que la celeridad ha sido constante:

<center><math>v_1 = \frac{L/2}{t_1}\,\,\Longrightarrow\,\, t_1=\frac{L}{2v_1}</math></center>

¿Y qué tiempo <math>t_2</math> habrá invertido el automóvil en recorrer la segunda mitad de la longitud del trayecto a una celeridad constante de <math>v_2\,</math> = 60 km/h? Pues:

<center><math>v_2 = \frac{L/2}{t_2}\,\,\Longrightarrow\,\, t_2=\frac{L}{2v_2}</math></center>

Entonces, teniendo en cuenta que <math>t=t_1+t_2\,</math> y sustituyendo en la expresión inicial, obtenemos la celeridad media:

<center><math>\left\langle v\right\rangle = \frac{L}{t}=\frac{L}{t_1+t_2}=\frac{L}{\displaystyle\frac{L}{2v_1}+\displaystyle\frac{L}{2v_2}}=\frac{L}{\displaystyle\frac{L}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{v_1}+\displaystyle\frac{1}{v_2}\right)}=\frac{2\,v_1v_2}{v_1+v_2}=80\, \mbox{km/h}</math></center>

Este resultado también se puede escribir en la forma más simétrica

<center><math>\frac{1}{\langle v\rangle} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}\right)</math></center>

es decir, la media aritmética de las inversas de las celeridades es la inversa de la celeridad media.
<!--
[[Categoría:Problemas de Cinemática del Punto (GITI)]]
-->