Ver el código de «No Boletín - Automóviles con m.r.u. y m.r.u.a. (Ex.Nov/12)»

==Enunciado==
Un automóvil A recorre el eje OX con una velocidad constante <math>\,\vec{v}_A=72\,\vec{\imath} \,</math> km/h, hallándose en el punto <math>\,x=0\,\,</math> en el instante <math>\,t=0\,</math>. En ese mismo instante un segundo automóvil B, que se encontraba en reposo en el punto <math>\,x=d>0\,</math>, comienza a moverse con una aceleración constante <math>\,\vec{a}_B=0.8\,\vec{\imath}\,</math> m/s<math>^2</math>.

¿Cuál era la distancia <math>\,d\,\,</math> que separaba a ambos automóviles en el instante inicial si observamos que A logra alcanzar a B por un momento pero no llega a adelantarlo?

==Discusión de tres casos dependiendo de la ventaja inicial==
Al tratarse de movimientos unidimensionales (sobre el eje OX), prescindiremos del carácter vectorial de las magnitudes cinemáticas. Razonaremos con las posiciones, velocidades y aceleraciones escalares de ambos automóviles, dando por sobrentendido que nos referimos a las componentes-x de las correspondientes magnitudes vectoriales.

El automóvil A realiza un movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.), mientras que el automóvil B realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.). Por tanto, sus aceleraciones, velocidades y posiciones instantáneas vienen dadas por las correspondientes fórmulas elementales deducidas en clase para estos movimientos:

<center><math>
\left\{\begin{array}{l}
a_A(t)=0 \\ v_A(t)=v_A\,\,\mathrm{(cte)} \\ x_A(t)=x_A(0)+v_At=v_At
\end{array}\right.
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
\left\{\begin{array}{l}
a_B(t)=a_B\,\,\mathrm{(cte)} \\ v_B(t)=v_B(0)+a_Bt=a_Bt \\ x_B(t)=x_B(0)+v_B(0)t+\frac{1}{2}a_Bt^2=d+\frac{1}{2}a_Bt^2
\end{array}\right.
</math></center>

donde se han sustituido las condiciones iniciales dadas (<math>x_A(0)=0\,</math>, <math>x_B(0)=d\,</math>, <math>v_B(0)=0\,</math>).

Analicemos el problema. Ambos automóviles viajan en el sentido positivo del eje OX. El automóvil B sale con una ventaja <math>\,d\,</math> y además está acelerando, pero inicialmente es más lento que el A puesto que ha partido del reposo. Por tanto, es posible que A tenga opciones de alcanzar e incluso adelantar a B. Eso sí, sabemos que, si A llega a adelantar a B, posteriormente B adelantará a A (porque la velocidad de B es creciente en el tiempo, mientras que la de A es constante). Dado que <math>\,v_A=72\,\mathrm{km/h}=20\,\mathrm{m/s}\,</math> y <math>\,a_B=0.8\,\mathrm{m/s}^2\,</math> son datos conocidos, el que A logre o no alcanzar (o incluso adelantar) a B va a depender del valor de la ventaja inicial <math>\,d\,</math> con que B sale respecto a A.

En resumen, tenemos tres situaciones posibles: 

'''Caso 1''': 

La ventaja inicial <math>\,d\,</math> es lo suficientemente grande como para que A no llegue a alcanzar a B. En este caso, si igualamos las coordenadas-x de A y B, obtendremos que no existe solución en el tiempo (es decir, no hay ningún valor de <math>\,t\,</math> para el cual <math>\,x_A=x_B\,</math>). 

'''Caso 2''': 

La ventaja inicial <math>\,d\,</math> tiene exactamente el valor necesario para que A alcance a B por un instante pero no llegue a adelantarlo. En este caso, igualando las posiciones de A y B, obtendremos una única solución en el tiempo. 

'''Caso 3''': 

La ventaja inicial <math>\,d\,</math> es lo suficientemente pequeña como para que A logre adelantar a B (más tarde, B adelantará a A). En este supuesto, al igualar las posiciones de A y B, obtendremos dos soluciones en el tiempo, correspondientes -respectivamente- a los dos instantes de adelantamiento.

Ahora, procedamos matemáticamente. Igualemos las posiciones de A y B, llamando <math>\,t_{*}\,</math> al instante (o instantes) en que tal coincidencia de automóviles se produce:
<center><math>
x_A(t_{*})=x_B(t_{*})\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, v_At_{*}=d+\frac{1}{2}a_Bt_{*}^2\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \frac{1}{2}a_Bt_{*}^2-v_At_{*}+d=0
</math></center>

Resolvamos la ecuación de segundo grado para <math>\,t_{*}\,</math>:
<center><math>
t_{^*}=\frac{v_A\pm\sqrt{v_A^2-2a_Bd}}{a_B}
</math></center>

Comprobamos que, según que el discriminante sea menor, igual o mayor que cero, aparecen las tres situaciones ya comentadas:

'''Caso 1'''

<math>d>\frac{v_A^2}{2a_B} \,\,\,\longrightarrow\,\,\,v_A^2-2a_Bd<0 \,\,\,\Longrightarrow\,\,\, </math> No hay solución en <math>\,t_{*}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,</math> <math>x_A\,</math> y <math>x_B\,</math> nunca coinciden 

'''Caso 2'''

<math>d=\frac{v_A^2}{2a_B} \,\,\,\longrightarrow\,\,\,v_A^2-2a_Bd=0 \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,</math> Hay una solución en <math>\,t_{*}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,</math> <math>x_A\,</math> y <math>x_B\,</math> coinciden en un instante 

'''Caso 3'''

<math>d<\frac{v_A^2}{2a_B} \,\,\,\longrightarrow\,\,\,v_A^2-2a_Bd>0 \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,</math> Hay dos soluciones en <math>\,t_{*}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,</math> <math>x_A\,</math> y <math>x_B\,</math> coinciden en dos instantes

==Solución del ejercicio (Caso 2)==
Si, tal como plantea el enunciado de este ejercicio, observamos que A logra alcanzar a B por un momento pero no llega a adelantarlo, es que estamos en el '''Caso 2'''. Por tanto, la distancia inicial entre ambos automóviles es:
<center><math>
d=\frac{v_A^2}{2a_B}=\frac{(20^2)\,\mathrm{m}^2\mathrm{/s}^2}{(2\times 0.8)\,\mathrm{m/s}^2}=250\,\mathrm{m}
</math></center>

==Otra forma más corta de razonar==
Veamos otro modo de llegar a la solución. Si A alcanza a B, podemos estar seguros de que la velocidad de A en el instante del alcance es mayor o igual que la de B (no puede ser menor, porque A venía detrás y en tal caso no habría alcanzado a B). Pero como sabemos (por el enunciado) que A no adelanta a B sino que sólo lo alcanza por un momento, la única opción posible es que las velocidades de A y B sean iguales en el instante del alcance. Esto nos permite determinar el instante <math>\,t_{*}\,</math> en el que A alcanza a B:
<center><math>
v_A(t_{*})=v_B(t_{*})\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,v_A=a_Bt_{*}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, t_{*}=\frac{v_A}{a_B}
</math></center>
Y exigiendo que las posiciones de A y B coincidan precisamente en dicho instante, podemos calcular el valor de <math>\,d\,</math>:
<center><math>
x_A(t_{*})=x_B(t_{*})\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,v_At_{*}=d+\frac{1}{2}a_Bt_{*}^2\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, d=v_At_{*}-\frac{1}{2}a_Bt_{*}^2=\frac{v_A^2}{a_B}-\frac{v_A^2}{2a_B}=\frac{v_A^2}{2a_B}=250\,\mathrm{m}
</math></center>
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