No Boletín - Altura de un triángulo (Ex.Oct/19)

Enunciado

Sea un triángulo $\,ABC\,$ arbitrario. Denominamos $\,h_{AB}\,$ a la longitud de su altura respecto del lado $\,AB\,$. ¿Cuál de las siguientes igualdades es correcta?

(NOTA: sólo una de las cuatro opciones es correcta).

(1) $h_{AB}=\displaystyle {\frac {|({\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AC}})\times {\overrightarrow {AB}}\,|}{|{\overrightarrow {AB}}\,|^{2}}}\,$

(2) $h_{AB}=\displaystyle {\frac {|({\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AB}})\,{\overrightarrow {AC}}\,|}{|{\overrightarrow {AC}}\,|^{2}}}\,$

(3) $h_{AB}=\displaystyle {\frac {|({\overrightarrow {AC}}\times {\overrightarrow {AB}})\times {\overrightarrow {AC}}\,|}{|{\overrightarrow {AC}}\,|^{2}}}\,$

(4) $h_{AB}=\displaystyle {\frac {|({\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}})\,{\overrightarrow {AB}}\,|}{|{\overrightarrow {AB}}\,|^{2}}}\,$

Solución

Utilizando una fórmula deducida en la teoría, descomponemos el vector ${\overrightarrow {AC}}\,$ en la suma de un vector paralelo a ${\overrightarrow {AB}}\,$ (vector ${\overrightarrow {AD}}\,$) y un vector perpendicular a ${\overrightarrow {AB}}\,$ (vector ${\overrightarrow {DC}}\,$):

${\overrightarrow {AC}}=\underbrace {\displaystyle {\frac {({\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}\,){\overrightarrow {AB}}}{|{\overrightarrow {AB}}\,|^{2}}}} _{\overrightarrow {AD}}\,+\,\underbrace {\displaystyle {\frac {({\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AC}}\,)\times {\overrightarrow {AB}}}{|{\overrightarrow {AB}}\,|^{2}}}} _{\overrightarrow {DC}}$

Resulta obvio que la longitud de la altura buscada coincide precisamente con el módulo del vector perpendicular a ${\overrightarrow {AB}}\,$ de la citada descomposición, es decir:

$h_{AB}=|{\overrightarrow {DC}}\,|=\displaystyle {\frac {|({\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AC}})\times {\overrightarrow {AB}}\,|}{|{\overrightarrow {AB}}\,|^{2}}}$

Así que la solución correcta es la (1).