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Movimiento elíptico de partícula con barra y resorte

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un resorte ideal de longitud natural nula y constante recuperadora desconocida tiene un un extremo fijado en el punto \ O y el otro en una partícula material \ P de masa m\ que, bajo la acción del resorte, describe una trayectoria elíptica en el plano OXY\ dada por las ecuaciones horarias

\overrightarrow{OP}=\mathbf{r} (t)=a \left[\sqrt{2}\cos (\omega t)\ \mathbf{i}+\mathrm{sen} (\omega t)\ \mathbf{j}\right]

iniciándose el movimiento en el instante t = 0\ . Además, una barra de longitud l\ (siendo l>\sqrt{2}a) y masa despreciable, en cuyo extremo se encuentra la partícula, sirve de guía al resorte, siendo siempre colineal con él.

  1. Determine el valor de la constante recuperadora del resorte y la velocidad de la partícula P\ en el instante inicial, así como su momento cinético y su energía mecánica en cualquier instante de tiempo.
  2. Obtenga la expresión de las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración de la partícula en cualquier instante de tiempo, así como el radio de curvatura de su trayectoria.
  3. Obtenga la reducción cinemática correspondiente al movimiento de la barra y la derivada temporal de dicha reducción.

2 Solución

2.1 Apartado 1

2.1.1 Magnitudes cinemáticas

Puesto que las ecuaciones de movimiento de la partícula son un dato del problema, podemos determinar su posición \ \mathbf{r}(t), y su velocidad \ \mathbf{v}(t), en cualquier instante de tiempo:

\displaystyle\overrightarrow{OP}=\mathbf{r} (t)=a \left[\sqrt{2}\ \cos (\omega t)\ \mathbf{i}+\mathrm{sen} (\omega t)\ \mathbf{j}\right]\qquad\longrightarrow\qquad\mathbf{r}_0=\mathbf{r}(t=0)=\sqrt{2}a\ \mathbf{i}

 

\displaystyle\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{OXY}=a \omega \left[-\sqrt{2}\ \mathrm{sen} (\omega t)\ \mathbf{i}+ \cos(\omega t)\ \mathbf{j}\right]    \longrightarrow    \mathbf{v}_0=\mathbf{v}(t=0)=\sqrt{2} a \omega\  \mathbf{j}

Asimismo, también podemos determinar la aceleración instantánea \ \mathbf{a}(t) de la partícula que, como puede comprobarse, es colineal y opuesta al vector posición en todo instante de tiempo:

\displaystyle\mathbf{a}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{OXY}=-a \omega^2 \left[\sqrt{2}\ \cos (\omega t)\ \mathbf{i}+ \mathrm{sen}(\omega t)\ \mathbf{j}\right]\qquad\Longrightarrow\qquad\mathbf{a}(t)=-\omega^2\mathbf{r}(t)\mathrm{,}\quad\forall\, t

Además, la relacion entre sus módulos es siempre la misma, pues \ \omega es un parámetro físico de valor constante y que se proporciona como dato en el enunciado.

Archivo:FI_sept_11_p1_1.gif            Archivo:FI_sept_11_p1_2.gif

2.1.2 Valor de la constante recuperadora

El último resultado obtenido, junto con la aplicación de la segunda ley de Newton, nos permitirá determinar el valor de la constante recuperadora \ k que, según el modelo de Hooke, caracteriza al resorte. Como se sabe, dicho modelo establece que la fuerza realizada por un resorte ideal (\mathbf{F}_\mathrm{res}) tiene dirección colineal y sentido opuesto al de su elongación, y su módulo es proporcional a ésta, siendo \ k el valor de la constante de proporcionalidad.

Por otra parte, en el enunciado se indica que el resorte tiene longitud natural nula, de manera que la elongación vendrá descrita por el segmento orientado \overrightarrow{OP}. Además, la ley horaria y la trayectoria seguidas por la partícula son el resultado de la acción exclusiva del resorte; es decir, sobre \ P no actúa ninguna otra fuerza real o vincular. Se tendrá, por tanto...

 

\left.\begin{array}{l}\displaystyle\sum_i\mathbf{F}_i=m\mathbf{a}(t)=-m\omega^2\ \mathbf{r}(t)\\ \\
\displaystyle\sum_i\mathbf{F}_i=\mathbf{F}_\mathrm{res}=k\ \overrightarrow{PO}=-k\ \mathbf{r}(t)\end{array}\right\}       \Rightarrow       \displaystyle k=m\omega^2

2.1.3 Momento cinético

El momento cinético de la partícula \ P respecto de un punto, es el momento de su cantidad de movimiento respecto de dicho punto. Así, puede determinarse su valor en cualquier instante de tiempo sin más que aplicar su defición,

\mathbf{L}_O (t)=\overrightarrow{OP}\times\mathbf{p}(t)=m\mathbf{r}(t)\times\mathbf{v}(t),

con las anteriores expresiones instantáneas para la posición y la velocidad de la partícula. Pero también puede obtenerse por un procedimiento más “elegante”, aplicando el teorema de conservación que se deriva del teorema del momento cinético,

\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_O}{\mathrm{d}t}=\sum_i\mathbf{M}_O^i

En el sistema bajo estudio, el momento resultante respecto de \ O del sistema de fuerzas se reduce al correspondiente a la fuerza del resorte:

\sum_i\mathbf{M}_O^i=\overrightarrow{OP}\times\mathbf{F}_\mathrm{res}=-k\ \mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}(t)=\mathbf{0}\mathrm{;}\quad\forall\, t

que es nulo en todo instante de tiempo, ya que la elongación del resorte (y por tanto, la fuerza recuperadora) coincide siempre con el radio-vector que indica la posición relativa de la partícula respecto de dicho punto fijo. En consecuencia, el momento cinético de la partícula respecto de \ O es constante en el tiempo; es decir, en el transcurso del movimiento \mathbf{L}_O(t) debe mantener el valor que tenía en el instante inicial:

\sum_i\mathbf{M}_O^i=\mathbf{0}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_O}{\mathrm{d}t}\mathrm{;}\quad\forall\, t       \Rightarrow       \mathbf{L}_O(t)=\mathbf{L}_O=m\mathbf{r}_0\times\mathbf{v}_0=2a^2m\omega\ \mathbf{k}\mathrm{,} \quad \mathrm{cte.}

2.1.4 Energía mecánica

La energía mecánica \ E de la partícula es igual a la suma de su energía cinética \ K, y sus energías potenciales \ U ligadas a las fuerzas conservativas que actúan sobre la partícula y que, en el caso que nos ocupa, se limitan a la del resorte:


No se pudo entender (función desconocida\matbhbf): E=K+\sum_iU_i(\mathbf{r})=\frac{1}{2}\ m |\mathbf{v}(t)|^2+U_\mathbf{res}[\matbhbf{r}(t)]

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