Movimiento elíptico de partícula con barra y resorte
De Laplace
1 Enunciado
Un resorte ideal de longitud natural nula y constante recuperadora desconocida tiene un un extremo fijado en el punto y el otro en una partícula material
de masa
que, bajo la acción del resorte, describe una trayectoria elíptica en el plano
dada por las ecuaciones horarias
![\overrightarrow{OP}=\mathbf{r} (t)=a \left[\sqrt{2}\cos (\omega t)\ \mathbf{i}+\mathrm{sen} (\omega t)\ \mathbf{j}\right]](/wiki/images/math/a/3/c/a3cf57ee7cb342f091a43ef5cc26ddc4.png)
iniciándose el movimiento en el instante . Además, una barra de longitud
(siendo
) y masa despreciable, en cuyo extremo se encuentra la partícula, sirve de guía al resorte, siendo siempre colineal con él.
- Determine el valor de la constante recuperadora del resorte y la velocidad de la partícula
en el instante inicial, así como su momento cinético y su energía mecánica en cualquier instante de tiempo.
- Obtenga la expresión de las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración de la partícula en cualquier instante de tiempo, así como el radio de curvatura de su trayectoria.
- Obtenga la reducción cinemática correspondiente al movimiento de la barra y la derivada temporal de dicha reducción.
2 Solución
2.1 Apartado 1
Puesto que las ecuaciones de movimiento de la partícula son un dato del problema, podemos determinar su posición , y su velocidad
, en cualquier instante de tiempo:
![\displaystyle\overrightarrow{OP}=\mathbf{r} (t)=a \left[\sqrt{2}\ \cos (\omega t)\ \mathbf{i}+\mathrm{sen} (\omega t)\ \mathbf{j}\right]\qquad\longrightarrow\qquad\mathbf{r}_0=\mathbf{r}(t=0)=\sqrt{2}a\ \mathbf{i}](/wiki/images/math/e/3/3/e3361a7e77a674d142c1719f9116d932.png)
![\displaystyle\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{OXY}=a \omega \left[-\sqrt{2}\ \mathrm{sen} (\omega t)\ \mathbf{i}+ \cos(\omega t)\ \mathbf{j}\right]](/wiki/images/math/5/e/3/5e3dc34321af50380976e8992e2ba867.png)


Asimismo, también podemos determinar la aceleración instantánea de la partícula que, como puede comprobarse, es colineal y opuesta al vector posición en todo instante de tiempo:
![\displaystyle\mathbf{a}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{OXY}=-a \omega^2 \left[\sqrt{2}\ \cos (\omega t)\ \mathbf{i}+ \mathrm{sen}(\omega t)\ \mathbf{j}\right]\qquad\Longrightarrow\qquad\mathbf{a}(t)=-\omega^2\mathbf{r}(t)\mathrm{,}\quad\forall\, t](/wiki/images/math/b/8/9/b8948780e76428c2d680854503e9027f.png)
Además, la relacion entre sus módulos es siempre la misma, pues es un parámetro físico constante.