Movimiento elíptico de partícula con barra y resorte

De Laplace

Revisión a fecha de 21:00 16 sep 2011; Gabriel (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Un resorte ideal de longitud natural nula y constante recuperadora desconocida tiene un un extremo fijado en el punto $\ O$ y el otro en una partícula material $\ P$ de masa $m\$ que, bajo la acción del resorte, describe una trayectoria elíptica en el plano $OXY\$ dada por las ecuaciones horarias

$\overrightarrow{OP}=\mathbf{r} (t)=a \left[\sqrt{2}\cos (\omega t)\ \mathbf{i}+\mathrm{sen} (\omega t)\ \mathbf{j}\right]$

iniciándose el movimiento en el instante $t = 0\$ . Además, una barra de longitud $l\$ (siendo $l>\sqrt{2}a$ ) y masa despreciable, en cuyo extremo se encuentra la partícula, sirve de guía al resorte, siendo siempre colineal con él.

Determine el valor de la constante recuperadora del resorte y la velocidad de la partícula $P\$ en el instante inicial, así como su momento cinético y su energía mecánica en cualquier instante de tiempo.
Obtenga la expresión de las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración de la partícula en cualquier instante de tiempo, así como el radio de curvatura de su trayectoria.
Obtenga la reducción cinemática correspondiente al movimiento de la barra y la derivada temporal de dicha reducción.

2 Solución

2.1 Apartado 1

Puesto que las ecuaciones de movimiento de la partícula son un dato del problema, podemos determinar su posición $\ \mathbf{r}(t)$ , y su velocidad $\ \mathbf{v}(t)$ , en cualquier instante de tiempo:

$\displaystyle\overrightarrow{OP}=\mathbf{r} (t)=a \left[\sqrt{2}\ \cos (\omega t)\ \mathbf{i}+\mathrm{sen} (\omega t)\ \mathbf{j}\right]\qquad\longrightarrow\qquad\mathbf{r}_0=\mathbf{r}(t=0)=\sqrt{2}a\ \mathbf{i}$

$\displaystyle\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{OXY}=a \omega \left[-\sqrt{2}\ \mathrm{sen} (\omega t)\ \mathbf{i}+ \cos(\omega t)\ \mathbf{j}\right]$ $\longrightarrow$ $\mathbf{v}_0=\mathbf{v}(t=0)=\sqrt{2} a \omega\ \mathbf{j}$

Asimismo, también podemos determinar la aceleración instantánea $\ \mathbf{a}(t)$ de la partícula que, como puede comprobarse, es colineal y opuesta al vector posición en todo instante de tiempo:

$\displaystyle\mathbf{a}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{OXY}=-a \omega^2 \left[\sqrt{2}\ \cos (\omega t)\ \mathbf{i}+ \mathrm{sen}(\omega t)\ \mathbf{j}\right]\qquad\Longrightarrow\qquad\mathbf{a}(t)=-\omega^2\mathbf{r}(t)\mathrm{,}\quad\forall\, t$

Además, la relacion entre sus módulos es siempre la misma, pues $\ \omega$ es un parámetro físico constante.

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