Movimiento elíptico de partícula con barra y resorte
De Laplace
Revisión a fecha de 20:50 16 sep 2011; Gabriel (Discusión | contribuciones)
1 Enunciado
Un resorte ideal de longitud natural nula y constante recuperadora desconocida tiene un un extremo fijado en el punto 
y el otro en una partícula material 
de masa 
que, bajo la acción del resorte, describe una trayectoria elíptica en el plano 
dada por las ecuaciones horarias
![\overrightarrow{OP}=\mathbf{r} (t)=a \left[\sqrt{2}\cos (\omega t)\ \mathbf{i}+\mathrm{sen} (\omega t)\ \mathbf{j}\right]](/wiki/images/math/a/3/c/a3cf57ee7cb342f091a43ef5cc26ddc4.png)
iniciándose el movimiento en el instante 
. Además, una barra de longitud 
(siendo 
) y masa despreciable, en cuyo extremo se encuentra la partícula, sirve de guía al resorte, siendo siempre colineal con él.
- Determine el valor de la constante recuperadora del resorte y la velocidad de la partícula
en el instante inicial, así como su momento cinético y su energía mecánica en cualquier instante de tiempo.
- Obtenga la expresión de las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración de la partícula en cualquier instante de tiempo, así como el radio de curvatura de su trayectoria.
- Obtenga la reducción cinemática correspondiente al movimiento de la barra y la derivada temporal de dicha reducción.
2 Solución
2.1 Apartado 1
Puesto que las ecuaciones de movimiento de la partícula son un dato del problema, podemos determinar su posición 
, velocidad 
, y aceleración 
, en cualquier instante de tiempo:
![\displaystyle\overrightarrow{OP}=\mathbf{r} (t)=a \left[\sqrt{2}\ \cos (\omega t)\ \mathbf{i}+\mathrm{sen} (\omega t)\ \mathbf{j}\right]\qquad\longrightarrow\qquad\mathbf{r}_0=\mathbf{r}(t=0)=\sqrt{2}a\ \mathbf{i}](/wiki/images/math/e/3/3/e3361a7e77a674d142c1719f9116d932.png)
![\displaystyle\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{OXY}=a \omega \left[-\sqrt{2}\ \mathrm{sen} (\omega t)\ \mathbf{i}+ \cos(\omega t)\ \mathbf{j}\right]](/wiki/images/math/5/e/3/5e3dc34321af50380976e8992e2ba867.png)
![\displaystyle\mathbf{a}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{OXY}=-a \omega^2 \left[\sqrt{2}\ \cos (\omega t)\ \mathbf{i}+ \mathrm{sen}(\omega t)\ \mathbf{j}\right]](/wiki/images/math/d/f/7/df7c40e2215c5617d3c030aa0053dea7.png)
