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Movimiento de triángulo (GIE)

De Laplace

Revisión a fecha de 18:17 9 sep 2018; Antonio (Discusión | contribuciones)
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Contenido

1 Enunciado

Un sólido de forma triangular está formado por tres varillas de 0.60 m, 0.80 m y 1.00 m, soldadas formando un triángulo rectángulo OAB. La densidad lineal de masa de las tres varillas es la misma: μ=3.75 kg/m. Empleamos un sistema de ejes tal que el vértice entre los dos catetos es el origen y los ejes OX y OY son paralelos a los catetos, como en la figura de la izquierda

  1. Determine la posición de G, el centro de masas del sólido.
  2. Calcule el momento de inercia del triángulo respecto al eje OZ, perpendicular al plano del triángulo por el punto O.
  3. Calcule el momento de inercia respecto al eje GZ, paralelo a OZ por el centro de masas.
  4. Suponga que el triángulo se sitúa en un plano vertical, con su cateto corto horizontal y el largo, vertical y por arriba. El triángulo se articula en O a un punto fijo. Se sujeta en reposo y entonces se suelta. ¿Qué velocidad angular posee en el instante en el que el cateto largo pasa por la horizontal?

2 Posición del centro de masas

Si etiquetamos como “1” al cateto OA, “2” el cateto OB y “3” la hipotenusa AB, las respectivas masas valen

\begin{array}{rcl}m_1&=&3.75\times 0.60=2.25\,\mathrm{kg} \\
m_2&=&3.75\times 0.80=3.00\,\mathrm{kg} \\
m_3&=&3.75\times 0.60=3.75\,\mathrm{kg} \end{array}

siendo la masa total

m=m_1+m_2+m_3=9.00\,\mathrm{kg}

Los centros de masas de las varillas se halla en sus respectivos centros

\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OG}_1&=&0.30\vec{\imath}\,\mathrm{m} \\
\overrightarrow{OG}_2&=&0.40\vec{\jmath}\,\mathrm{m} \\
\overrightarrow{OG}_3&=&0.30\vec{\imath}+0.40\vec{\jmath}\,\mathrm{m} \end{array}

El centro de masas del conjunto es la media ponderada de estos tres, como si cada lado estuviera concentrado en su CM

\overrightarrow{OG}=\frac{m_1\overrightarrow{OG}_1+m_2\overrightarrow{OG}_2+m_3\overrightarrow{OG}_3}{m}=0.20\vec{\imath}+0.30\vec{\jmath}

3 Momento de inercia respecto a OZ

El momento de inercia es la suma de los de las tres varillas por separado.

Para el cateto OA, el eje OZ es perpendicular por su extremo

I_{O1}=\frac{1}{3}m_1 b_1^2 = 0.27\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2

Lo mismo para el cateto OB

I_{O2}=\frac{1}{3}m_2 b_2^2 = 0.64\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2

Para la hipotenusa AB aplicamos el teorema de Steiner, teninedo en cuenta la posición de su centro G3

I_{O3}=\frac{1}{12}m_3b_3^2+m_3|\overrightarrow{OG}_3|^2=1.25\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2

siendo el momento de inercia total la suma de estos tres

I_O= 2.16\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2

4 Momento de inercia respecto a GZ

Aplicamos el teorema de Steiner

I_O=I_G+m|\overrightarrow{OG}|^2\qquad\Rightarrow\qquad I_G = 2.16-9.00(0.20^2+0.30^2)=0.99\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2

5 Velocidad del triángulo

Por conservación de la energía mecánica

\frac{1}{2}I_O|\vec{\omega}|^2 = m g \Delta h_G

siendo ΔhG lo que desciende el centro de masas. Pasa de estar a 30cm de altura a estar 20cm por debajo del eje. Por tanto

\frac{1}{2}2.16|\vec{\omega}|^2 = 9.00\times 10\times 0.50\qquad\Rightarrow\qquad |\vec{\omega}| = 6.45\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

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