Movimiento circular en torno a un eje oblicuo

Enunciado

Una partícula gira alrededor de un eje que pasa por el origen de coordenadas y está orientado según la dirección y el sentido del vector ${\vec {c}}={\vec {\imath }}+2{\vec {\jmath }}+2{\vec {k}}$. La aceleración angular de este movimiento es constante y de módulo 1 rad/s². La velocidad angular inicial es nula. Si en $t=2\,\mathrm {s}$ la partícula se encuentra en ${\vec {r}}=(-{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+4{\vec {k}})\,\mathrm {m}$ calcule, para este instante

1. La velocidad y la aceleración.
2. Las componentes intrínsecas de la aceleración.

Velocidad y aceleración

Velocidad

La velocidad de una partícula que describe un movimiento circular en torno a un eje puede escribirse en la forma

${\vec {v}}={\vec {\omega }}\times ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{e})$

siendo ${\vec {r}}_{e}$ un punto del eje de giro (no necesariamente el centro de la circunferencia). De acuerdo con el enunciado, podemos tomar este punto como el origen de coordenadas

${\vec {r}}_{e}={\vec {0}}$

La velocidad angular la hallamos sabiendo que la aceleración angular es constante (se trata de un movimiento uniformemente acelerado)

${\vec {\omega }}={\vec {\alpha }}\,t$

La aceleración angular (suponiendo que su sentido es el mismo que el del vector ${\vec {c}}$) es

${\vec {\alpha }}=\alpha {\frac {\vec {c}}{|{\vec {c}}|}}=\left({\frac {1}{3}}{\vec {\imath }}+{\frac {2}{3}}{\vec {\jmath }}+{\frac {2}{3}}{\vec {k}}\right)\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

por lo que en $t=2\,\mathrm {s}$ la velocidad angular vale

${\vec {\omega }}=\left({\frac {2}{3}}{\vec {\imath }}+{\frac {4}{3}}{\vec {\jmath }}+{\frac {4}{3}}{\vec {k}}\right)\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

Multiplicando vectorialmente por el vector de posición obtenemos la velocidad

${\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}={\frac {1}{3}}\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&4&4\\-1&1&4\end{matrix}}\right|{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=\left(4{\vec {\imath }}-4{\vec {\jmath }}+2{\vec {k}}\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Aceleración

La aceleración en un movimiento circular se compone de un término asociado a la velocidad angular y otro a la aceleración angular.

${\vec {a}}={\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\right)={\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}$

Calculándolos por separado, tenemos, para el primer término

${\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}={\frac {1}{3}}\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\1&2&2\\-1&1&4\end{matrix}}\right|{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}=\left(2{\vec {\imath }}-2{\vec {\jmath }}+1{\vec {k}}\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

y para el segundo

${\vec {\omega }}\times {\vec {v}}={\frac {1}{3}}\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&4&4\\4&-4&2\end{matrix}}\right|{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}=\left(8{\vec {\imath }}+4{\vec {\jmath }}-8{\vec {k}}\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

Sumando las dos contribuciones

${\vec {a}}=\left(2{\vec {\imath }}-2{\vec {\jmath }}+1{\vec {k}}\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}+\left(8{\vec {\imath }}+4{\vec {\jmath }}-8{\vec {k}}\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}=\left(10{\vec {\imath }}+2{\vec {\jmath }}-7{\vec {k}}\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

Componentes de la aceleración

La aceleración de la partícula se compone de dos sumandos. Uno es claramente perpendicular a la velocidad, mientras que el otro es paralelo a ella, por ser la velocidad angular y la aceleración angular vectores paralelos. Por tanto, tenemos

Aceleración tangencial

El vector aceleración tangencial corresponde al término

${\vec {a}}_{t}={\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}=\left(2{\vec {\imath }}-2{\vec {\jmath }}+1{\vec {k}}\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

siendo la componente tangencial de la aceleración

$a_{t}=\left|{\vec {a}}_{t}\right|=3\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

NOTA: Calcular $a_{t}$ como el módulo de ${\vec {a}}_{t}$ sólo se puede hacer cuando se tiene certeza de que la aceleración tangencial es positiva (movimiento acelerado), lo cual ocurre en este caso dado que los vectores ${\vec {\alpha }}$ y ${\vec {\omega }}$ tienen el mismo sentido. En caso de duda sobre el signo de $a_{t}$, ésta tendrá que calcularse como el producto escalar de ${\vec {a}}$ (o bien ${\vec {a}}_{t}$) por el vector unitario tangente ${\vec {v}}/v$.

Aceleración normal

El vector aceleración normal lo da el término perpendicular a la velocidad

${\vec {a}}_{n}={\vec {\omega }}\times {\vec {v}}=\left(8{\vec {\imath }}+4{\vec {\jmath }}-8{\vec {k}}\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

siendo su módulo

$a_{n}=\left|{\vec {a}}_{n}\right|=12\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$