Movimiento armónico simple

Introducción

El movimiento armónico simple (o, abreviadamente, M.A.S.) es el descrito por una partícula que se mueve a lo largo de una recta verificando la ley de Hooke

$\mathbf {F} =-k\mathbf {r} \,$

Por tratarse de un movimiento rectilíneo, puede reducirse el movimiento a una sola componente

$\mathbf {r} =x{\vec {\imath }}$    $\mathbf {F} =F{\vec {\imath }}\,$

de forma que la ecuación de movimiento se reduce a

${\ddot {x}}=-{\frac {k}{m}}x=-\omega ^{2}x$    $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

La solución de esta ecuación diferencial, con las condiciones iniciales

$x(0)=x_{0}\,$  ${\dot {x}}(0)=v_{0}$

es la forma general de un movimiento armónico simple.

Combinación de funciones trigonométricas

Para resolver la ecuación de movimiento de un oscilador armónico, empleando técnicas elementales, observamos que trata de hallar una función cuya segunda derivada sea proporcional a la propia función. Es fácil encontrar dos funciones que cumplen esta condición

$x_{1}=\cos(\omega t)\,$     $x_{2}=\,\mathrm {sen} (\omega t)$

Por simple sustitución comprobamos que se cumple

${\ddot {x}}_{1}=-\omega ^{2}x_{1}$    ${\ddot {x}}_{2}=-\omega ^{2}x_{2}$

Ninguna de estas dos soluciones particulares puede ser la solución general, ya que no cumplen las condiciones iniciales del movimiento. Sin embargo, una combinación lineal de ellas sí lo es. Multiplicando cada una por una constante y sumando, tenemos que

$x=ax_{1}+bx_{2}\,$ ⇒ ${\ddot {x}}=a{\ddot {x}}_{1}+b{\ddot {x}}_{2}=-\omega ^{2}ax_{1}-\omega ^{2}bx_{2}=-\omega ^{2}x$

El valor de estas dos constantes, $a$ y $b$ lo dan las condiciones iniciales. Al resultar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, la solución queda completamente determinada. Por tanto, la forma general del movimiento armónico simple es

$x=a\cos(\omega t)+b\,\mathrm {sen} (\omega t)$

Derivando esta ecuación obtenemos la velocidad instantánea

$v={\dot {x}}=-a\omega \,\mathrm {sen} (\omega t)+b\omega \cos(\omega t)$

Imponiendo las condiciones iniciales obtenemos $a$ y $b$. De la posición inicial

$x_{0}=x(0)=a\overbrace {\cos(0)} ^{=1}+b\,\overbrace {\mathrm {sen} (0)} ^{=0}=a$ ⇒ $a=x_{0}\,$

y de la velocidad inicial

$v_{0}={\dot {x}}(0)=-a\omega \,\overbrace {\mathrm {sen} (0)} ^{=0}+b\omega \overbrace {\cos(0)} ^{=1}=b\omega$ ⇒ $b={\frac {v_{0}}{\omega }}$

con lo que la solución general, en función de la posición y la velocidad inicial es

$x=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {v_{0}}{\omega }}\,\mathrm {sen} (\omega t)$

En función de la amplitud y la fase

Una forma alternativa de escribir la solución general del movimiento armónico simple es

$x=A\cos(\omega t+\phi )\,$

donde $A$ y $\phi$ son dos constantes que se pueden obtener a partir de las condiciones iniciales. Estas dos constantes, dada su importancia, poseen nombre propio:

• $A$ es la amplitud.

• $\phi \,$ es la constante de fase (siendo $\omega t+\phi \,$ la fase del movimiento)

Relación con la combinación lineal

Es sencillo demostrar la equivalencia entre las dos expresiones de la solución general. Aplicando la expresión del coseno de una suma

$\cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )-\,\mathrm {sen} (\alpha )\,\mathrm {sen} (\beta )$

obtenemos

$x=A\cos(\omega t)\cos(\phi )-A\,\mathrm {sen} (\omega t)\,\mathrm {sen} (\phi )$

que es idéntica a la expresión dada en la sección anterior

$x=a\cos(\omega t)+b\,\mathrm {sen} (\omega t)$

si se verifica la relación entre las constantes

$a=x_{0}=A\cos(\phi )\,$    $b={\frac {v_{0}}{\omega }}=-A\,\mathrm {sen} (\phi )$

La relación inversa a ésta nos permite hallar la amplitud y la constante de fase en función de las condiciones iniciales

$A={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {x_{0}^{2}+{\frac {v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}}}}$    $\phi =-\,\mathrm {arctg} \left({\frac {b}{a}}\right)=-\,\mathrm {arctg} \left({\frac {v_{0}}{\omega x_{0}}}\right)$

Gráficamente, podemos representar un vector $\mathbf {A}$ en dos dimensiones, cuyas componentes cartesianas son las constantes $a$ y $b$

$\mathbf {A} =a{\vec {\imath }}+b{\vec {\jmath }}\,$

Este vector tiene por módulo la amplitud de las oscilaciones, y el ángulo que forma con el eje X es la constante de fase $\phi$

Parámetros del movimiento

El M.A.S. se caracteriza por tanto, por una serie de magnitudes físicas, que son las siguientes:

Elongación

Es la propia variable $x$, esto es, la separación instantánea de la partícula oscilante respecto a su posición de equilibrio. En el SI se mide en metros.

Frecuencia angular

$\omega ={\sqrt {k/m}}$ da la proporcionalidad entre el tiempo y la fase. En el SI se mide en rad/s o simplemente s⁻¹.

Periodo

$T=2\pi /\omega$ es el tiempo necesario para que el oscilador vuelva a la misma posición y velocidad. Se mide en segundos en el SI.

Frecuencia natural

$f=1/T$ la inversa del periodo, indica cuantas oscilaciones se producen en la unidad de tiempo. Se mide en hercios (Hz) o ciclos/s. Es proporcional a la frecuencia angular, $f=\omega /2\pi$.

Amplitud

$A$ es la elongación máxima, esto es, la máxima separación del oscilador respecto a la posición de equilibrio. Puede obtenerse a partir de la posición y velocidad iniciales. Se mide en metros.

Fase

$\varphi =\omega t+\phi$ indica el punto del ciclo en el que se encuentra la partícula, variando desde 0 a $2\pi$ radianes.

Constante de fase (o desfase)

$\phi \,$ indica la diferencia en fase entre la oscilación real y una de referencia que fuera de la forma $\cos(\omega t)$. Puede obtenerse a partir de la posición y velocidad iniciales. Se mide en radianes.

Fasor

${\tilde {x}}=A\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \phi }$ es una constante compleja, función de la posición y velocidad iniciales, que una vez multiplicada por $\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}$ y hallada su parte real, da la elongación de la partícula. Se mide en metros.

Amplitud compleja (fasor)

Artículo completo: Fasor

Existe otra forma alternativa de expresar el movimiento armónico simple, mediante el uso de amplitudes complejas o fasores. Partiendo de la fórmula de Euler se tiene

$\cos(\alpha )=\mathrm {Re} \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \alpha }\right)$

Aplicando esto a la solución del MAS obtenemos la relación

$x=A\cos(\omega t+\phi )=\mathrm {Re} \left({\tilde {x}}\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}\right)$

donde

${\tilde {x}}=A\mathrm {e} ^{j\phi }$

es el fasor de $x$. Es una cantidad compleja constante cuyo módulo es la amplitud de las oscilaciones y cuyo argumento es la constante de fase. El producto ${\tilde {x}}\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}$ es un vector rotatorio en el plano complejo cuya parte real nos da la posición instantánea de la partícula.

En términos de las condiciones iniciales, la amplitud compleja es

${\tilde {x}}=A\cos(\phi )+\mathrm {j} A\,\mathrm {sen} (\phi )=a-\mathrm {j} b=x_{0}-\mathrm {j} {\frac {v_{0}}{\omega }}$

La velocidad y la aceleración admiten expresiones fasoriales análogas

$v=\mathrm {Re} \left({\tilde {v}}\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}\right)$    $a=\mathrm {Re} \left({\tilde {a}}\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}\right)$

siendo sus fasores

${\tilde {v}}=\mathrm {j} \omega {\tilde {x}}=v_{0}+\mathrm {j} \omega x_{0}$    ${\tilde {a}}=\mathrm {j} \omega {\tilde {v}}=-\omega ^{2}{\tilde {x}}$

Multiplicando cada una de estas amplitudes complejas por $\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}$ y hallando su parte real obtenemos la velocidad y la aceleración instantáneas como función del tiempo.