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Momento dipolar magnético de dos espiras planas (F2GIA)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se ha construido una antena consistente en dos pequeñas espiras planas contenidas en sendos planos ortogonales y conectadas entre sí tal como se indica en la figura. La que está situada en el plano z = 0 tiene forma cuadrada, siendo 2a la longitud de sus lados. La contenida en el plano x = 0 es una circunferencia de radio a. ¿Cuál es el momento dipolar magnético de la antena cuando una intensidad de corriente I recorre la espira cuadrada en sentido antihorario (ver figura)?

2 Solución

La antena consiste en un conductor filiforme que describe un circuito cerrado Γ. Cuando es recorrida por una corriente eléctrica con la intensidad y en el sentido indicado por el elmento de corriente I\mathrm{d}\mathbf{r}, la antena se comporta a grandes distancias como un dipolo magnético que estará caracterizado por un momento dipolar magnético,

\vec{\mu}=\frac{I}{2}\!\ \int_\Gamma\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc\!\!\!\!\wedge \mathbf{r}\times\mathrm{d}\mathbf{r}

donde \mathbf{r} es el radio-vector variable que indica la posición de los puntos del circuito respecto de un punto fijo arbitrariamente elegido. Obsérvese que, al cruzarse su trazado, existen dos puntos del conductor, O y O^\prime, a los que corresponden elementos de corriente distintos pero que coinciden en un mismo punto geométrico. De esta forma, la anterior integral se puede descomponer en la suma de dos integrales a lo largos de sendas curvas cerradas:

\vec{\mu}=\frac{I}{2}\!\ \left[ \int_{O(\partial\Sigma_1)}^{O^\prime}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc\!\!\!\!\vee\;\;\; \mathbf{r}\times\mathrm{d}\mathbf{r}+\!\ \int_{O^\prime(\partial\Sigma_2)}^O\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc\!\!\!\!\wedge\;\;\; \mathbf{r}\times\mathrm{d}\mathbf{r}\right]

una de forma circular, que denominaremos \partial\Sigma_1, y otra \partial\Sigma_2, de forma cuadrada.

Pero, cada uno de los términos de la anterior expresión es, por definición el momento dipolar magnético de la espira correspondientes. Y como \partial\Sigma_1 y \partial\Sigma_2 son espiras contenidas en sendos planos ortogonales, el momento dipolar de cada una de ellas será un vector de dirección perpendicular al plano de la espira y módulo igual al producto de la intensidad de corriente por el área de la superficie plana que encierra; el sentido del momento dipolar está determinado por el sentido en que la corriente recorre la espira plano, según el criterio del triedro directo:

\begin{array}{l}\displaystyle\vec{\mu}_1=\frac{I}{2}\!\ \int_{\partial\Sigma_1}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc\!\!\!\!\vee\;\;\; \mathbf{r}_1\times\mathrm{d}\mathbf{r}_1=-I\!\ \pi a^2\!\ \mathbf{i}\\ \\ \displaystyle\vec{\mu}_2=\frac{I}{2}\!\ \int_{\partial\Sigma_2}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc\!\!\!\!\wedge\;\;\; \mathbf{r}_2\times\mathrm{d}\mathbf{r}_2=I\!\ 4 a^2\!\ \mathbf{k}\end{array}

Sumando estos dos términos, obtenemos el momento dipolar magnético de la antena Γ:

\vec{\mu}=\frac{I}{2}\!\ \int_\Gamma\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc\!\!\!\!\wedge \mathbf{r}\times\mathrm{d}\mathbf{r}=\vec{\mu}_1+\vec{\mu}_2=I\!\ a^2\!\ \left(-\pi\!\ \mathbf{i}+4\!\ \mathbf{k}\right)

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