Proyección de un vector y otro perpendicular a él

Enunciado

En estas cuatro configuraciones el vector ${\vec {b}}$ es perpendicular al vector ${\vec {a}}$. Los dos tienen módulo $T$. Encuentra la expresión de los cuatro vectores en los ejes cartesianos mostrados.

Caso a

El vector ${\vec {a}}$ forma un ángulo $\theta$ con el eje $+X$. Entonces

${\vec {a}}=T\cos \theta \,{\vec {\imath }}+T\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}$

En el dibujo se muestra el ángulo que forma el vector ${\vec {b}}$ con el eje $+Y$. Entonces

${\vec {b}}=-T\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}+T\cos \theta \,{\vec {\jmath }}$

Caso b

El vector ${\vec {a}}$ forma un ángulo $\theta$ con el eje $+X$. Entonces

${\vec {a}}=T\cos \theta \,{\vec {\imath }}+T\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}$

Hay que señalar que no hay que imponer ningún signo negativo en las componentes. El propio coseno da el signo adecuado en cada caso.

En el dibujo se muestra el ángulo que forma el vector ${\vec {b}}$ con el eje $+Y$. Entonces

${\vec {b}}=T\cos(\theta -\pi /2)\,{\vec {\imath }}+T\,\mathrm {sen} \,(\theta -\pi /2)\,{\vec {\jmath }}=T\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}-T\cos \theta \,{\vec {\jmath }}$

Hemos usado las fórmulas

${\begin{array}{l}\mathrm {sen} \,(\alpha \pm \beta )=\mathrm {sen} \,\theta \cos \beta \mp \mathrm {sen} \,\beta \cos \alpha \\\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \mathrm {sen} \,\alpha \,\mathrm {sen} \,\beta \end{array}}$

Caso c

El vector ${\vec {a}}$ forma un ángulo $\theta$ con el eje $-X$. Entonces

${\vec {a}}=-T\cos \theta \,{\vec {\imath }}-T\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}$

En el dibujo se muestra el ángulo que forma el vector ${\vec {b}}$ con el eje $+Y$. Entonces

${\vec {b}}=-T\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}+T\cos \theta \,{\vec {\jmath }}$

Caso d

El vector ${\vec {a}}$ forma un ángulo $\theta$ con el eje $-Y$. Entonces

${\vec {a}}=T\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}-T\cos \theta \,{\vec {\jmath }}$

En el dibujo se muestra el ángulo que forma el vector ${\vec {b}}$ con el eje $-X$. Entonces

${\vec {b}}=-T\cos \theta \,{\vec {\imath }}-T\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}$