Exámenes 2018/19 (G.I.E.R.M.)

Enunciado

Un oscilador armónico con posición de equilibrio $x_{\mathrm {eq} }=0$ se mueve de tal forma que en $t=0.00\,\mathrm {s}$ la partícula se halla en $x_{0}=0.80\,\mathrm {m}$, moviéndose con velocidad $v_{0}=+0.60\,\mathrm {m} /\mathrm {s}$ y aceleración $a_{0}=-0.20\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}$. Halle la frecuencia $\omega$ y el periodo del movimiento, su amplitud de oscilación y la fase inicial. Exprese los fasores (amplitudes complejas) de la posición, velocidad y aceleración.

Solución

Obtenemos la frecuencia a partir de la ecuación del oscilador armónico

$a=-\omega ^{2}x\,$

Esta ecuación se cumple en todo instante. En particular en el instante inicial, por lo que

$\omega ={\sqrt {-{\frac {a_{0}}{x_{0}}}}}={\sqrt {\frac {0.20}{0.80}}}\mathrm {s} ^{-1}=0.5\,\mathrm {s} ^{-1}$

Una vez que tenemos la frecuencia, tenemos el periodo

$T={\frac {2\pi }{\omega }}=4\pi \,\mathrm {s} =12.57\,\mathrm {s}$

A partir de las condiciones iniciales obtenemos el fasor (amplitud compleja) de la posición

${\hat {x}}=x_{0}-\mathrm {j} {\frac {v_{0}}{\omega }}$

que en este caso es el número complejo

${\hat {x}}=(0.80-{\frac {0.60}{0.5}}\mathrm {j} )\,\mathrm {m} =(0.80-1.20\mathrm {j} )\,\mathrm {m}$

A partir del fasor obtenemos la amplitud como su módulo

$A=|{\hat {x}}|={\sqrt {0.80^{2}+1.20^{2}}}\,\mathrm {m} =1.44\,\mathrm {m}$

y la constante de fase como su argumento

$\varphi =\mathrm {arctg} \left({\frac {-1.20}{0.80}}\right)=-0.983\,\mathrm {rad}$

El fasor de la velocidad es igual al de la posición multiplicado por $\mathrm {j} \omega$

${\hat {v}}=\mathrm {j} \omega {\hat {x}}=(0.5\,\mathrm {j} )(0.80-1.20\mathrm {j} ){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=(0.60+0.40\mathrm {j} ){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

y el de la aceleración igual al de la velocidad multiplicado por $\mathrm {j} \omega$

${\hat {a}}=\mathrm {j} \omega {\hat {v}}=(0.5\,\mathrm {j} )(0.60+0.40\mathrm {j} ){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}=(-0.20+0.30\mathrm {j} ){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

A partir de aquí es inmediato obtener la amplitud y la constante de fase de la velocidad y de la aceleración.