Masas con cuerda horizontal (Oct. 2019 G.I.C.)

Enunciado

Las masas puntuales $m_{1}$ y $m_{2}$ se deslizan sin rozamiento sobre una superficie horizontal. Las masas están unidas por una cuerda ideal, inextensible y sin masa, de longitud $L$. Una fuerza ${\vec {F}}=F\,{\vec {\imath }}$ actúa sobre la masa $m_{1}$. Las masas se mueven de modo que la cuerda está siempre tensa.

1. Calcula la tensión de la cuerda durante el movimiento
2. Supongamos ahora que las dos masas son iguales, $m_{1}=m_{2}=m_{0}$. En el instante inicial la masa $m_{2}$ esta en el punto $O$ y la cuerda está completamente estirada. Las dos masas están en reposo en este instante inicial. Ahora la fuerza depende del tiempo como ${\vec {F}}(t)=12m_{0}At\,{\vec {\imath }}$, siendo $A$ una constante.
   1. Cuáles son las unidades base de $A$ en el S.I.
   2. ¿Cuál es la posición de la masa $m_{1}$ en función del tiempo?
   3. En el instante $t=t_{p}$ la partícula 1 se para súbitamente. ¿Cuanto tiempo tarda en chocar con ella la partícula 2?

Solución

Tensión en la cuerda

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre cada masa. Tenemos que aplicar la Segunda Ley de Newton a cada masa por separado

${\begin{array}{l}m_{1}\,{\vec {a}}_{1}={\vec {F}}+{\vec {P}}_{1}+{\vec {N}}_{1}+{\vec {T}}_{1}\\\\m_{2}\,{\vec {a}}_{2}={\vec {P}}_{2}+{\vec {N}}_{2}+{\vec {T}}_{2}\end{array}}$

Expresamos los vectores que aparecen aquí en el sistema de ejes de la figura. Para la masa 1 tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {a}}_{1}=a\,{\vec {\imath }},\\{\vec {F}}=F\,{\vec {\imath }},\\{\vec {P}}_{1}=-m_{1}g\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {N}}_{1}=N_{1}\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {T}}_{1}=-T\,{\vec {\imath }},\\\end{array}}$

Para la masa 2 tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {a}}_{2}=a\,{\vec {\imath }},\\{\vec {P}}_{2}=-m_{2}g\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {N}}_{2}=N_{2}\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {T}}_{2}=T\,{\vec {\imath }},\\\end{array}}$

Hemos usado que la aceleración de las dos masas debe ser la misma y que la tensión de la cuerda es la misma en todos sus puntos, pues no tiene masa. A partir de las expresiones vectoriales de la Segunda Ley de Newton obtenemos cuatro ecuaciones escalares

${\begin{array}{lr}m_{1}a=F-T,&(1)\\0=N_{1}-m_{1}g,&(2)\\m_{2}a=T,&(3)\\0=N_{2}-m_{2}g.&(4)\end{array}}$

Sumando las ecuaciones (1) y (3) obtenemos la aceleración de la masa

$a={\dfrac {F}{m_{1}+m_{2}}}.$

A partir de (3) obtenemos la tensión en la cuerda

$T={\dfrac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\,F.$

Las ecuaciones (2) y (4) nos dan las magnitudes de las fuerzas normales

$N_{1}=m_{1}g,\qquad N_{2}=m_{2}g.$

Movimiento con $\mathbf {F=12m_{0}At}$

Durante el movimiento la distancia entre las masas es constante. Entonces, las dos tienen la misma velocidad y aceleración.

Las unidades base de $A$ deben ser tales que la definición de $F$ sea compatible con las unidades de fuerza

$[A]={\dfrac {[F]}{[m_{0}][t]}}=\mathrm {{\dfrac {N}{kg\cdot s}}={\dfrac {kg\cdot m\cdot s^{-2}}{kg\cdot s}}={\dfrac {m}{s^{3}}}} .$

Introducimos la definición de $F$ en la expresión que nos da la aceleración d elas masas

$a={\dfrac {12m_{0}At}{2m_{0}}}=6At.$

Esta aceleración depende del tiempo. Para obtener la velocidad hay que resolver la ecuación diferencial

${\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=a\Longrightarrow \mathrm {d} v=a\mathrm {d} t\Longrightarrow \mathrm {d} v=6At\mathrm {d} t$

Integrando obtenemos

$\int \mathrm {d} v=\int 6At\mathrm {d} t\Longrightarrow v=3At^{2}+C$

En el instante inicial las masas estaban en reposo. Por tanto

$v(0)=0\Longrightarrow C=0.$

Es decir, la velocidad de las masas en función del tiempo es

$v_{1}=v_{2}=3At^{2}.$

Para obtener la coordenada $x$ de cada masa debemos resolver la ecuación diferencial correspondiente. Para la masa $m_{1}$ tenemos

${\dfrac {\mathrm {d} x_{1}}{\mathrm {d} t}}=v_{1}\Longrightarrow \mathrm {d} x_{1}=v_{1}\mathrm {d} t\Longrightarrow \mathrm {d} x_{1}=3At^{2}\mathrm {d} t$

Integrando obtenemos

$\int \mathrm {d} x_{1}=\int 3At^{2}\mathrm {d} t\Longrightarrow x_{1}=At^{3}+C$

En el instante inicial la cuerda estaba estirada. Por tanto

$x_{1}(0)=L\Longrightarrow C=L.$

Es decir

$x_{1}=L+At^{3}.$

Procediendo de manera similar para la masa $m_{2}$ obtenemos

$x_{2}=At^{3}.$

Parada súbita de la masa 2

En $t=t_{p}$ la masa $m_{1}$ se para. En ese instante, la cuerda deja de tirar de la masa $m_{2}$. Por tanto, la aceleración de $m_{2}$ es cero a partir de ese instante y se mueve con velocidad constante e igual a la que tenía en $t_{p}$

$v_{2}=3At_{p}^{2}.$

En $t=t_{p}$ la distancia entre las masas era $L$. Como la masa 2 se mueve con velocidad uniforme, el tiempo que tarda en chocar con la otra masa es el que tarda en recorrer esa distancia

$\Delta t={\dfrac {L}{3At_{p}^{2}}}.$