Masa sobre un plano inclinado conectado a un muelle y otra masa, Febrero 2013 (G.I.C.)

Enunciado

En el sistema de la figura, la masa $m_{A}$ desliza sin rozamiento sobre el plano inclinado. El muelle tiene constante elástica $k$ y longitud natural nula. La longitud de la cuerda es $l=L$. La cuerda se supone que tiene masa nula y que siempre se mantiene tensa. La masa $m_{B}$ se mueve de modo que la cuerda se mantiene siempre vertical. La cuña se supone estática en todo el problema.

1. Dibuja el diagrama de cuerpo libre de las dos masas.
2. Determina la posición $x_{eq}$ de la masa $m_{A}$ cuando el sistema está en equilibrio.
3. La masa $m_{A}$ se separa de su posición de equilibrio y se suelta. Escribe la ecuación de movimiento de la masa $m_{A}$. Demuestra que realiza un movimiento armónico simple y encuentra su período.
4. Suponiendo que el origen de energía potencial se sitúa en la base de la cuña, ¿cuánto vale la energía mecánica del sistema cuando $x_{A}=L/2$, estando las dos masas en reposo?

Solución

Diagramas de cuerpo libre

En el dibujo de la derecha se muestran las fuerzas que actúan sobre cada masa. Sobre la masa $m_{A}$ actúan el peso, la fuerza del muelle, la tensión de la cuerda y la fuerza de reacción vincular del plano. El enunciado dice que no ha rozamiento con el plano inclinado.

Sobre la masa $m_{B}$ sólo actúan el peso y la tensión de la cuerda.

Posición de equilibrio de la masa $m_{A}$

Para que la masa $m_{A}$ esté en equilibrio la suma de fuerzas sobre ella debe ser cero. Es importante recordar que sólo hay que tener en cuenta las fuerzas que actúan directamente sobre la masa.

$m_{A}{\vec {g}}+{\vec {T}}_{A}+{\vec {N}}+{\vec {F}}_{k}^{eq}={\vec {0}}$

Podemos ignorar las componentes perpendiculares al plano del dibujo, por lo que la ecuación vectorial anterior nos da dos ecuaciones escalares, una de la componente $X$ y otra de la componente $Y$. Utilizamos los ejes de la figura para expresar las fuerzas cuando la masa $m_{A}$ está en su posición de equilibrio $x_{A}$.

${\begin{array}{l}m_{A}{\vec {g}}=-m_{A}\,g\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}-m_{A}\,g\cos \theta \,{\vec {\jmath }}\\{\vec {T}}_{A}=T_{A}\,{\vec {\imath }}\\{\vec {N}}=N\,{\vec {\jmath }}\\{\vec {F}}_{k}^{eq}=-k\,{\overrightarrow {OA}}^{eq}=-kx_{A}^{eq}\,{\vec {\imath }}\end{array}}$

Considerando cada una de las componentes de la ecuación vectorial de equilibrio tenemos

${\begin{array}{l}(X)\to \qquad kx_{A}^{eq}=-m_{A}\,g\mathrm {sen} \,\theta +T_{A}\\\\(Y)\to \qquad N=m_{A}\,g\cos \theta \end{array}}$

Tenemos 3 incógnitas: $x_{A}^{eq},\,T_{A},\,N$. Necesitamos otra ecuación. La obtenemos aplicando la condición de equilibrio a la masa $m_{B}$.

${\vec {T}}_{B}+m_{B}\,{\vec {g}}={\vec {0}}\Longrightarrow {\vec {T}}_{B}=-m_{B}\,{\vec {g}}\Longrightarrow |{\vec {T}}_{B}|=m_{B}\,g$

La polea no tiene masa (no nos dan ningún dato sobre ella) por lo que la tensión de la cuerda es la misma a los dos lados. Es decir

$T_{A}=m_{B}\,g$

Entonces, la posición de equilibrio de la masa $m_{A}$ es

$x_{A}^{eq}={\dfrac {g}{k}}\,(m_{B}-m_{A}\,\mathrm {sen} \theta )$

Movimiento de la masa $m_{A}$

Al separar la masa de la posición de equilibrio y soltarla, la suma de fuerzas sobre ella ya no es cero, con lo que adquiere una aceleración. Las fuerzas sobre ella tienen la misma expresión que antes, excepto la que ejerce el muelle. Para una posición arbitraria de la masa esta fuerza es

${\vec {F}}_{k}=-kx_{A}\,{\vec {\imath }}$

La ecuación de movimiento es la Segunda Ley de Newton

$m_{A}{\vec {a}}=m_{A}{\vec {g}}+{\vec {T}}_{A}+{\vec {N}}+{\vec {F}}_{k}$

La aceleración sólo tiene componente paralela al eje $X$. Tenemos

$m_{A}\,a_{A}=-m_{A}\,g\,\mathrm {sen} \theta +m_{B}\,g-kx_{A}$

Dividimos por $m_{A}$ y reordenamos los términos del lado derecho. Además, usamos que $a_{A}={\ddot {x}}_{A}$.

${\ddot {x}}_{A}=-{\dfrac {k}{m_{A}}}\,x_{A}+{\dfrac {m_{B}\,g-m_{A}\,g\,\mathrm {sen} \theta }{m_{A}}}$

El primer término del lado derecho nos daría un movimiento armónico simple. Pero el segundo término molesta. Para quitarlo de en medio, describimos la posición de la masa no respecto al punto $O$, sino respecto a su posición de equilibrio. Esto es, definimos $s(t)$ de modo que

$x_{A}(t)=x_{A}^{eq}+s(t)$

Derivando obtenemos

${\dot {x_{A}}}={\dot {s}},\qquad \qquad {\ddot {x}}_{A}={\ddot {s}}$

Al introducir este cambio en la ecuación diferencial, y utilizando el valor de $x_{A}^{eq}$ obtenido en el apartado anterior llegamos a

${\ddot {s}}=-{\dfrac {k}{m_{A}}}\,s$

Esto corresponde a un movimiento armónico simple con frecuencia angular y período

$\omega ={\sqrt {\dfrac {k}{m_{A}}}}\qquad \qquad T={\dfrac {2\pi }{\omega }}=2\pi {\sqrt {\dfrac {m_{A}}{k}}}$

La masa oscila alrededor de su posición de equilibrio.

Energía mecánica del sistema

Cuando las masas están en reposo la energía mecánica tiene tres componentes: las energías potenciales gravitatorias de las dos masas y la energía elástica del muelle. Observando el dibujo de la derecha estas energías son

${\begin{array}{l}U_{k}={\dfrac {1}{2}}\,k\,\left({\dfrac {L}{2}}\right)^{2}={\dfrac {k\,L^{2}}{8}}\\\\U_{A}=m_{A}\,g\,h_{A}=m_{A}\,g\,{\dfrac {L}{2}}\,\mathrm {sen} \,\theta \\\\U_{B}=m_{B}\,g\,h_{B}=m_{B}\,g\,\left(L\,\mathrm {sen} \,\theta -{\dfrac {L}{2}}\right)\end{array}}$

Hemos usado que la longitud de la cuerda es $L$. La energía mecánica total es

$E_{m}=U_{k}+U_{A}+U_{B}={\dfrac {k\,L^{2}}{8}}+m_{A}\,g\,{\dfrac {L}{2}}\,\mathrm {sen} \,\theta +m_{B}\,g\,L\,\left(\mathrm {sen} \,\theta -{\dfrac {1}{2}}\right)$