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Masa que cuelga de un cilindro con pistón (GIE)

De Laplace

1 Enunciado

Se tiene un tubo hermético, de 16cm² de sección, cerrado por un émbolo móvil. Las paredes y el émbolo están aislados térmicamente del exterior. En el interior del tubo hay aire seco (γ=1.4). El tubo se halla en posición vertical, con el émbolo en su parte inferior. Inicialmente el émbolo se encuentra a 10cm de la base, estando el aire interior a 15°C y 100kPa, que también son la temperatura y presión exterior. En ese momento se cuelga del émbolo un saco de harina de 35N de peso, de manera que el émbolo desciende bruscamente. Halle

  1. La presión, temperatura y volumen del gas interior en la nueva posición de equilibrio.
  2. El trabajo realizado sobre el gas en este proceso.
  3. La variación de entropía del gas en el proceso.

Suponga ahora que el saco de harina tiene un pequeño orificio por el que se escapa lentamente la harina hasta vaciarse por completo (despreciamos el peso del propio saco). Halle

  1. La presión, temperatura y volumen del gas interior en la posición final de equilibrio.
  2. El trabajo realizado sobre el gas en este proceso.
  3. La variación de entropía del gas en este proceso.

Dato: Constante universal de los gases ideales R=8.314\,\mathrm{J}/\mathrm{K}\cdot \mathrm{mol}

2 Expansión brusca

Este problema es como el de Trabajo_en_una_compresión_por_un_peso solo que ahora en lugar de ser una compresión es una expansión adiabática.

Presión
p_B = p_A-\frac{mg}{S}=100000\,\mathrm{Pa} -\frac{53\,\mathrm{N}}{16\times 10^{-4}\mathrm{m}^2}=78125\,\mathrm{Pa}
Volumen
Por ser adiabático
W=\Delta U \qquad\Rightarrow\qquad -p_B(V_B-V_A)=\frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1}\qquad\Rightarrow\qquad V_V=V_A\left(1-\frac{p_B-p_A}{\gamma p_B}\right)

Lo que da

V_A=16\mathrm{cm}^2\times 10\,\mathrm{cm}=160\,\mathrm{cm}^3\qquad\Rightarrow\qquad V_B=160\left(1+\frac{21875}{1.4\times 78125}\right)\mathrm{cm}^3=192\,\mathrm{cm}^3
Temperatura
por la ley de los gases ideales
T_B=T_A\frac{p_BV_B}{p_AV_A}=288\,\frac{78125\times 192}{100000\times 160}\mathrm{K}=270\,\mathrm{K}
Trabajo
W=\Delta U=nc_v(T_B-T_A)=\frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1}=-2.50\,\mathrm{J}
Variación de entropía
\Delta S = nc_p \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right)+nc_v\ln\left(\frac{p_B}{p_A}\right)

donde

nc_v=\frac{nR}{\gamma-1}=\frac{p_AV_A}{(\gamma-1)T_A}=138.9\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}\qquad\qquad nc_p=\gamma n c_v=194.4\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}

y queda

\Delta S=194.4\ln\left(\frac{192}{160}\right)+138.9\ln\left(\frac{78125}{100000}\right)=1.16\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}

3 Compresión cuasiestática

Presión

La final es la misma que la inicial

p_C=p_A=100\,\mathrm{kPa}
Volumen
La compresión es adiabática y cuasiestática, por lo que se cumple la ley de Poisson
p_CV_C^\gamma =p_BV_B^\gamma\qquad\Rightarrow\qquad V_C=V_B\left(\frac{p_B}{p_C}\right)^{1/\gamma}
<center><math>=161.0\,\mathrm{cm}^3
Temperatura
T_C=T_B \frac{p_CV_C}{p_B V_B}=290\,\mathrm{K}
Trabajo
W=\Delta U =nc_v(T_C-T-B)=\frac{p_CV_C-p_BV_B}{\gamma-1}=2.74\,\mathrm{J}
Entropía
Por ser adiabático y cuasiestático
\Delta S=0\,

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