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Magnitudes conservadas en un movimiento rectilíneo

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula de masa m = 2.00\,\mathrm{kg} se mueve según las leyes horarias, en el SI

x=(4.00+8.00t)\,\mathrm{m}\qquad\qquad y = (-2.00+1.00t)\,\mathrm{m}\qquad\qquad z = (-4.00-4.00t)\mathrm{m}

Demuestre que su cantidad de movimiento, su momento cinético respecto al origen de coordenadas y su energía cinética permanecen constantes. Halle el valor de estas tres cantidades.

2 Introducción

En lugar de sustituir directamente los diferentes valores numéricos, conviene expresarlos primero algebraicamente, ya que así ganan en generalidad.

A partir de las tres coordenadas de la partícula obtenemos su vector de posición en cada instante

\vec{r}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k}=\left((4.00+8.00t)\vec{\imath}+(-2.00+1.00t)\vec{\jmath}+(-4.00-4.00t)\vec{k}\right)\mathrm{m}

Agrupando los términos que dependen del tiempo, podemos ver que esta posición corresponde a un movimiento rectilíneo y uniforme

\vec{r}=\vec{r}_0+\vec{v}_0t

donde

\vec{r}_0=\left(4.00\vec{\imath}-2.00\vec{\jmath}-4.00\vec{k}\right)\mathrm{m}        \vec{v}_0=\left(8.00\vec{\imath}+1.00\vec{\jmath}-4.00\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

Al tratarse de un movimiento rectilíneo y uniforme, la aceleración de la partícula es nula y por tanto, la resultante de las fuerzas aplicadas de la partícula es también nula.

3 Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento de la partícula es igual al producto de su masa por su velocidad

\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\vec{v}_0\qquad\qquad \vec{p}=m\vec{v}=m\vec{v}_0

Al ser constante tanto la masa como la velocidad de la partícula, se conserva la cantidad de movimiento. Su valor es

\vec{p}=m\vec{v}_0=\left(16.00\vec{\imath}+2.00\vec{\jmath}-8.00\vec{k}\right)\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

El que se conserve la cantidad de movimiento es también una consecuencia inmediata de que sobre la partícula la fuerza neta aplicada es nula.

4 Momento cinético

El momento cinético respecto al origen de coordenadas es igual al momento de su cantidad de movimiento

\vec{L}_O = \vec{r}\times\vec{p}=m\vec{r}\times\vec{v}

Sustituyendo la posición y la velocidad instantáneas

\vec{L}_O=m(\vec{r}_0+\vec{v}_0t)\times\vec{v}_0 = m\vec{r}_0\times\vec{v}_0+m\overbrace{\vec{v}_0\times\vec{v}_0}^{=\vec{0}}t = m\vec{r}_0\times\vec{v}_0

Vemos que el momento cinético también es constante, aunque la posición sea variable en el tiempo. La razón es que lo que varía es paralelo a la velocidad y por tanto se anula en el producto vectorial.

Esto está en completo acuerdo con que la fuerza aplicada es nula. Si la fuerza es nula,

\vec{F}=\vec{0}\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}=\vec{M}_O=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{0}

El valor del momento cinético en este caso particular es

\vec{L}_O =m\vec{r}_0\times\vec{v}_0 = 2.00\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 4.00 & -2.00 & -4.00\\ 8.00 & 1.00& -4.00\end{matrix}\right|\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}=\left(24.00\vec{\imath} -32.00\vec{\jmath}+ 40.00\vec{k}\right)\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}

5 Energía cinética

Si la rapidez de la partícula es constante, también lo es su energía cinética, siendo su valor

K = \frac{1}{2}m|\vec{v}|^2=\frac{1}{2}m|\vec{v}_0|^2=\frac{1}{2}(2.00)\left(8.00^2+1.00^2+(-4.00)^2\right)\,\mathrm{J}=81.00\,\mathrm{J}

En este caso la constancia de la energía cinética, de acuerdo con el teorema de las fuerzas vivas, expresa que no se está realizando trabajo sobre la partícula, lo cual es evidente teniendo en cuenta que no se jerce fuerza sobre ella.

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