Enunciado

Una partícula de masa cuelga de una cuerda inextensible sin masa. La cuerda desliza sobre el punto . A su vez, este punto se mueve sobre una circunferencia de radio . La longitud de la cuerda cambia en el tiempo según la ley . En el instante inicial el punto se encontraba sobre el eje , a la derecha del origen.

  1. Escribe el vector de posición de la partícula
  2. El punto realiza un movimiento circular uniforme con una aceleración que cumple . Encuentra la velocidad de la partícula .
  3. Calcula el vector normal de la trayectoria de la partícula y su curvatura en el instante .

Solución

Vector de posición

El vector de posición de la partícula puede escribirse como

Tenemos

Por otra parte

Entonces

Velocidad de la partícula

El punto realiza un movimiento circular uniforme. Entonces

Tenemos

Y derivando otra vez

El módulo de la aceleración es

Entonces

Hemos usado que , como dice el enunciado, pues en el instante inicial el punto estaba sobre el eje a la derecha del origen.

Entonces, para el punto tenemos

Vector normal y curvatura en el instante inicial

En tenemos . La velocidad y aceleración del punto en ese instante son

Como son perpendiculares, la aceleración sólo tiene componente normal. Es decir

El vector normal es

y la curvatura es