Barra apoyada en una parede sujeta por un cable, Enero 2014 (G.I.C.)

Enunciado

Una barra de longitud $L$ y masa $m$ está sujeta por un extremo a un cable que a su vez tienen su otro extremo anclado en la pared. El otro extremo de la barra se apoya en la pared, de modo que la barra se mantiene horizontal. El contacto en $A$ es rugoso. Determina las fuerzas que actúan sobre la barra en el punto en que se apoya en la pared. ¿Cuál es el valor mínimo del coeficiente de rozamiento para que el equilibrio sea posible? ¿Cuánto vale la tensión del cable en ese caso? El peso de la barra se aplica en su centro de masas.

Solución

Las fuerzas que actúan sobre la barra son su peso, la fuerza ejercida por el cable en el punto $B$ y las ejercidas por la pared en el punto $A$. Dado que el contacto con la pared es rugoso, la fuerza en $A$ tiene una componente normal y otra tangencial a la pared. La figura muestra las direcciones de las fuerzas y sus puntos de aplicación. Utilizando los ejes de la figura tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {P}}=-mg\,{\vec {\jmath }}\\{\vec {T}}=-T\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+T\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }}\\{\vec {N}}=N\,{\vec {\imath }}\\{\vec {F}}_{R}=F_{R}{\vec {\jmath }}\end{array}}$

Del dibujo del enunciado vemos que

$\cos \alpha ={\dfrac {4}{5}},\qquad \qquad \mathrm {sen} \,\alpha ={\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}={\dfrac {3}{5}}$

La primera condición de equilibrio es que el sumatorio de fuerzas sea nulo. De aquí obtenemos dos ecuaciones

${\vec {P}}+{\vec {T}}+{\vec {N}}+{\vec {F}}_{R}={\vec {0}}\to \left\{{\begin{array}{l}N-T\cos \alpha =0\\F_{R}+T\,\mathrm {sen} \,\alpha -mg=0\end{array}}\right.$

La otra condición es que el momento neto sea nulo respecto de cualquier punto. Escogemos el punto $B$ para calcular los momentos. De este modo los momentos de la tensión del cable y la normal en $A$ son nulos. Tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {M}}_{P}^{B}={\overrightarrow {BG}}\times {\vec {P}}=\left(-{\dfrac {L}{2}}\,{\vec {\imath }}\right)\times \left(-mg\,{\vec {\jmath }}\right)={\dfrac {mgL}{2}}\,{\vec {k}}\\\\{\vec {M}}_{F_{R}}^{B}={\overrightarrow {BA}}\times {\vec {F}}_{R}=\left(-L\,{\vec {\imath }}\right)\times \left(F_{R}\,{\vec {\jmath }}\right)=-F_{R}L\,{\vec {k}}\end{array}}$

La suma debe anularse, por lo que

${\vec {M}}_{P}^{B}+{\vec {M}}_{F_{R}}^{B}={\vec {0}}\to F_{R}=mg/2$

Resolviendo el sistema de tres ecuaciones obtenemos

${\begin{array}{l}F_{R}={\dfrac {1}{2}}mg\\\\N={\dfrac {mg}{2\tan \alpha }}={\dfrac {2}{3}}mg\\\\T={\dfrac {mg}{2\,\mathrm {sen} \,\alpha }}={\dfrac {5}{6}}mg\end{array}}$

Para que el equilibrio sea posible el valor de la fuerza de rozamiento que hemos obtenido debe ser menor que el valor máximo de esa fuerza de rozamiento. Es decir

$|{\vec {F}}_{R}|\leq \mu |{\vec {N}}|$

Por tanto

$\mu \geq \tan \alpha ={\dfrac {3}{4}}.$